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设向量α=(a1,a2,…,an)T,β=(b1,b2,…,bn)T都是非零向量,满足条件αTβ=0,记n阶矩阵A=αβT. 矩阵A的特征值和特征阳量.
设向量α=(a1,a2,…,an)T,β=(b1,b2,…,bn)T都是非零向量,满足条件αTβ=0,记n阶矩阵A=αβT. 矩阵A的特征值和特征阳量.
admin
2013-03-29
43
问题
设向量α=(a
1
,a
2
,…,a
n
)
T
,β=(b
1
,b
2
,…,b
n
)
T
都是非零向量,满足条件α
T
β=0,记n阶矩阵A=αβ
T
.
矩阵A的特征值和特征阳量.
选项
答案
设λ是A的任一特征值,η是A属于特征值λ的特征向量,即Aη=λη,η≠0,那么 A
2
η=λAη=λ
2
η. 因为A
2
=0,故λ
2
η=0,义因η≠0,从而矩阵A的特征值是λ=0(n重根). 不妨设向量αβ的第1个分量a
1
≠0,b
1
≠0.对齐次线性方程组(0E-A)x=0的系数矩阵作初等行变换,有 [*] 得到基础解系 η
1
=(-b
1
,b
1
,0,…,0)
T
,η
2
=(-b
1
,0,b
1
,…,0)
T
,η
n-1
=(-b
n
,0,0,…,b
1
)
T
. 于是矩阵A属于特征值λ=0的特征向量为 k
1
η
1
+k
2
η
2
+…+k
n-1
η
n-1
,其中k
1
,k
2
,…,k
n-1
是不全为零的任意常数.
解析
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考研数学三
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