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设x=rcosθ,y=rsinθ,把下列直角坐标系中的累次积分改写成极坐标系(r,θ)中的累次积分: (Ⅰ)f(x,y)dy; (Ⅱ)∫01dy∫01—yf(x,y)dx.
设x=rcosθ,y=rsinθ,把下列直角坐标系中的累次积分改写成极坐标系(r,θ)中的累次积分: (Ⅰ)f(x,y)dy; (Ⅱ)∫01dy∫01—yf(x,y)dx.
admin
2017-10-23
54
问题
设x=rcosθ,y=rsinθ,把下列直角坐标系中的累次积分改写成极坐标系(r,θ)中的累次积分:
(Ⅰ)
f(x,y)dy;
(Ⅱ)∫
0
1
dy∫
0
1—y
f(x,y)dx.
选项
答案
(Ⅰ)积分区域D如图4.24所示,可见区域D位于[*]的扇形中,且极点在D的边界上,D的边界方程为r=cosθ,于是D可表示为D={(r,θ)|[*],0≤r≤cosθ},故 [*] (Ⅱ)积分区域D如图4.25所示,可见区域D位于0≤θ≤[*]的扇形中,且极点在D的边界上,D的上边界方程的直角坐标方程是x+y=1,从而它的极坐标方程是r=[*],于是。可表示为D={(r,θ)|0≤θ≤[*]},故 ∫
0
1
dy∫
0
1—y
f(x,y)dx=[*]f(rcosθ,rsinθ)rdr。
解析
求解与本例同类问题的步骤是:第一步,画出题设累次积分对应的积分区域D的图形;第二步,用极坐标系(r,θ)中的不等式组表示D;第三步,按照第二步中结果写出极坐标系中的累次积分.
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考研数学三
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