设A为m×n实矩阵，E为n阶单位矩阵，已知矩阵B=λE+ATA，试证：当λ>0时，矩阵B为正定矩阵．

admin2014-04-10 56

问题设A为m×n实矩阵，E为n阶单位矩阵，已知矩阵B=λE+A^TA，试证：当λ>0时，矩阵B为正定矩阵．

选项

答案因为B^T=(λB+A^TA)^T=λE+A^TA=B，所以B是n阶实对称矩阵．构造二次型x^TBx，那么 x^TBx=x^T(λE+A^TA)x=λx^Tx+x^TA^TAx=λx^Tx+(Ax)^T(Ax)． Vx≠0，恒有x^Tx>0，(Ax)^T(Ax)≥0．因此当λ>0时，Vx≠0，有x^TBx=λx^Tx+(Ax)^T(Ax)>0．二次型为正定二次型，故B为正定矩阵．

解析

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考研数学三

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