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设曲线f(x)=xn在点(1,1)处的切线与x轴的交点为(ξn,0),则f(ξn)=( ).
设曲线f(x)=xn在点(1,1)处的切线与x轴的交点为(ξn,0),则f(ξn)=( ).
admin
2018-09-29
67
问题
设曲线f(x)=x
n
在点(1,1)处的切线与x轴的交点为(ξ
n
,0),则
f(ξ
n
)=( ).
选项
A、e
B、1/e
C、-1/e
D、-e
答案
B
解析
首先应求出ξ
n
,进而得到f(ξ
n
),最后求出极限值.因为ξ
n
是曲线在点(1,1)处的切线与x轴交点的横坐标,即x轴截距,所以还需从切线方程入手.注意点(1,1)在曲线f(x)=x
n
上.
由于f’(x)=nx
n-1
,所以过点(1,1)的切线斜率k=f’(1)=n.切线方程为
y-1-=n(x-1),
令y=0,代入切线方程,求得的x值就是ξ
n
.所以
ξ
n
=1-
,
f(ξ
n
)=(1-
)
n
,
故
=e
-1
=1/e.
故选B.
ξ
n
的几何意义是说,随着n的增大,曲线f(x)=x
n
在点(1,1)处的切线与x轴的交点就越来越靠近点(1,0).当n→∞时,切线的极限位置将是一条过点(1,1)且垂直于x轴的直线,此时切线的斜率k=∞.
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经济类联考综合能力题库专业硕士分类
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经济类联考综合能力
专业硕士
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