2. 考研
  3. 设f（x）为[—a，a]上的连续偶函数且f（x）＞0，令F（x）=∫—aa|x—t|f（t）dt。 （Ⅰ）证明F’（x）单调增加； （Ⅱ）当x取何值时，F（x）取最小值； （Ⅲ）当F（x）的最小值为f（a）一a2—1时，求函数f（x）。

设f（x）为[—a，a]上的连续偶函数且f（x）＞0，令F（x）=∫—aa|x—t|f（t）dt。 （Ⅰ）证明F’（x）单调增加； （Ⅱ）当x取何值时，F（x）取最小值； （Ⅲ）当F（x）的最小值为f（a）一a2—1时，求函数f（x）。

admin2017-01-21  22
问题 设f（x）为[—a，a]上的连续偶函数且f（x）＞0，令F（x）=∫—aa|x—t|f（t）dt。
（Ⅰ）证明F’（x）单调增加；
（Ⅱ）当x取何值时，F（x）取最小值；
（Ⅲ）当F（x）的最小值为f（a）一a2—1时，求函数f（x）。
选项
答案（Ⅰ）F（x）=∫—aa|x一t|f（t）dt=t∫—ax（x一t）f（t）dt+∫xa（t一x）f（t）dt =x∫—axf（t）dt一∫—axtf（t）dt+∫xatf（t）dt一x∫xaf（t）dt =x∫—axf（t）dt一∫—axtf（t）dt一∫axtf（t）dt+x∫axf（t）dt， F’（x）=∫—axf（t）dt+xf（x）一xf（x）一xf（x）+∫axf（t）dt+xf（x） =∫—axf（t）dt一∫xaf（t）dt。 所以F"（x）=2f（x）＞0，因此F’（x）为单调增加的函数。 （Ⅱ）因为F"（0）=∫—a0f（x）dx一∫0af（x）dx，且f（x）为偶函数，所以F"（0）=0，又因为F"（0）＞0，所以x=0为F（x）的唯一极小值点，也为最小值点。 （Ⅲ）由2∫0atf（x）dt=f（A）一a2—1，两边求导得2af（A）=f’（A）—2a， 于是 f’（x）—2xf（x）=2x， 解得 f（x）=[∫2xe—∫2xdxdx+C]e—∫—2xdx=[*]—1。 在2∫0atf（t）dt=f（a）一a2—1中令a=0得f（0）=1，则C=2，于是 f（x）=[*]—1。
解析
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考研数学三

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