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设f(x)∈c[a,b],在(a,b)内二阶可导. 若f(A)=f(B)=∫0bf(x)dx=0,证明:存在η∈(a,b),使得f’’(η)=f(η).
设f(x)∈c[a,b],在(a,b)内二阶可导. 若f(A)=f(B)=∫0bf(x)dx=0,证明:存在η∈(a,b),使得f’’(η)=f(η).
admin
2017-03-02
28
问题
设f(x)∈c[a,b],在(a,b)内二阶可导.
若f(A)=f(B)=∫
0
b
f(x)dx=0,证明:存在η∈(a,b),使得f’’(η)=f(η).
选项
答案
令F(x)=∫
a
x
f(t)dt,因为F(A)=F(B)=0,所以由罗尔定理.存在c∈(a,b),使得F’(C)=0,即f(C)=0.令h(x)=e
x
f(x),由h(A)=h(C)=h(B)=0,根据罗尔定理,存在ξ
1
∈(a,c),ξ
2
∈(c,b),使得h’(ξ
1
)=h’(ξ
2
)=0,则h’(x)=e
x
[f(x)+f’(x)],所以f(ξ
1
)+f’(ξ
1
)=0,f(ξ
2
)+f’(ξ
2
)=0.再令G(x)=e
-x
[f(x)+f’(x)],由G(ξ
1
)=G(ξ
2
)=0,根据罗尔定理,存在η∈(ξ
1
,ξ
2
)c(a,b),使得G’(η)=0,而G’(x)=e
-x
[f’’(x)一f(x)]且e
-x
≠0,所以f’’(η)=f(η).
解析
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考研数学三
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