设f(x)∈c[a,b],在(a,b)内二阶可导. 若f(A)=f(B)=∫0bf(x)dx=0,证明:存在η∈(a,b),使得f’’(η)=f(η).

admin2017-03-02  28

问题 设f(x)∈c[a,b],在(a,b)内二阶可导.
若f(A)=f(B)=∫0bf(x)dx=0,证明:存在η∈(a,b),使得f’’(η)=f(η).

选项

答案令F(x)=∫axf(t)dt,因为F(A)=F(B)=0,所以由罗尔定理.存在c∈(a,b),使得F’(C)=0,即f(C)=0.令h(x)=exf(x),由h(A)=h(C)=h(B)=0,根据罗尔定理,存在ξ1∈(a,c),ξ2∈(c,b),使得h’(ξ1)=h’(ξ2)=0,则h’(x)=ex[f(x)+f’(x)],所以f(ξ1)+f’(ξ1)=0,f(ξ2)+f’(ξ2)=0.再令G(x)=e-x[f(x)+f’(x)],由G(ξ1)=G(ξ2)=0,根据罗尔定理,存在η∈(ξ1,ξ2)c(a,b),使得G’(η)=0,而G’(x)=e-x[f’’(x)一f(x)]且e-x≠0,所以f’’(η)=f(η).

解析
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