设f(x)为(一∞，+∞)上以p为周期的连续函数。证明对任何实数a，恒有∫0a+paf(x)dx=∫0pf(x)dx。

admin2018-01-30 55

问题设f(x)为(一∞，+∞)上以p为周期的连续函数。证明对任何实数a，恒有∫₀^a+paf(x)dx=∫₀^pf(x)dx。

选项

答案证明： ∫_a^a+pf(x)dx=∫_a⁰f(x)dx+∫₀^pf(x)dx+∫_a^a+pf(x)dx，令t=x—p ∴∫_a^a+pf(x)dx=∫₀^af(t+p)dt=∫₀^af(x)dx， ∴∫_a^a+pf(x)dx=∫₀^pf(x)dx。

解析本题结合换元法求积分，结合周期函数的定义证明。

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经济类联考综合能力

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