2. 考研
  3. 设矩阵矩阵B=(kE+A)2，其中足为实数，E为单位矩阵。求对角矩阵A，使B与A相似；并求k为何值时，B为正定矩阵。

设矩阵矩阵B=(kE+A)2，其中足为实数，E为单位矩阵。求对角矩阵A，使B与A相似；并求k为何值时，B为正定矩阵。

admin2015-09-14  38
问题 设矩阵矩阵B=(kE+A)2，其中足为实数，E为单位矩阵。求对角矩阵A，使B与A相似；并求k为何值时，B为正定矩阵。
选项
答案由[*] 得A的特征值为λ1=λ2=2，λ3=0． 记对角矩阵 [*] 因A是实对称矩阵，故存在正交矩阵P，使得 P-1AP=PTAP=D 所以A=PDP-1 于是 B=(kE+A)2=(kPP-1+PDP-1)2=[P(kE+D)P-1]2=P(kE+D)P-1P(kE+D)-1 [*] 亦可由A的特征值为：2，2，0，得kE+A的特征值为：k+2，k+2，k，进而得B=(kE+A)2的特征值为： (k+2)2，(k+2)2，k2，从而得实对称矩阵B相似于对角阵A。 由上面的结果立刻得到：当k≠一2，且k≠0时，B的特征值均为正数，这时B为正定矩阵。
解析 本题主要考查实对称矩阵及其多项式相似于对角矩阵的问题。注意，若方阵A相似于对角阵，则A的多项也必相似于对角阵。事实上，若存在可逆矩阵P，使

则对任意正整数m，有P-1Amp=(P-1AP)m=Dm=，由此可知A的任一多项式也必相似于对角阵。例如，由
P-1(A3+2A一3E)P=P-1A3P+2P-1AP-3E

即知A的多项式A3+2A一3E相似于对角阵。本题只要求求出B的相似对角矩阵，不必求出相似变换的矩阵P。
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考研数学三

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