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设矩阵矩阵B=(kE+A)2,其中足为实数,E为单位矩阵。求对角矩阵A,使B与A相似;并求k为何值时,B为正定矩阵。
设矩阵矩阵B=(kE+A)2,其中足为实数,E为单位矩阵。求对角矩阵A,使B与A相似;并求k为何值时,B为正定矩阵。
admin
2015-09-14
32
问题
设矩阵
矩阵B=(kE+A)
2
,其中足为实数,E为单位矩阵。求对角矩阵A,使B与A相似;并求k为何值时,B为正定矩阵。
选项
答案
由[*] 得A的特征值为λ
1
=λ
2
=2,λ
3
=0. 记对角矩阵 [*] 因A是实对称矩阵,故存在正交矩阵P,使得 P
-1
AP=P
T
AP=D 所以A=PDP
-1
于是 B=(kE+A)
2
=(kPP
-1
+PDP
-1
)
2
=[P(kE+D)P
-1
]
2
=P(kE+D)P
-1
P(kE+D)
-1
[*] 亦可由A的特征值为:2,2,0,得kE+A的特征值为:k+2,k+2,k,进而得B=(kE+A)
2
的特征值为: (k+2)
2
,(k+2)
2
,k
2
,从而得实对称矩阵B相似于对角阵A。 由上面的结果立刻得到:当k≠一2,且k≠0时,B的特征值均为正数,这时B为正定矩阵。
解析
本题主要考查实对称矩阵及其多项式相似于对角矩阵的问题。注意,若方阵A相似于对角阵,则A的多项也必相似于对角阵。事实上,若存在可逆矩阵P,使
则对任意正整数m,有P
-1
A
m
p=(P
-1
AP)
m
=D
m
=
,由此可知A的任一多项式也必相似于对角阵。例如,由
P
-1
(A
3
+2A一3E)P=P
-1
A
3
P+2P
-1
AP-3E
即知A的多项式A
3
+2A一3E相似于对角阵。本题只要求求出B的相似对角矩阵,不必求出相似变换的矩阵P。
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考研数学三
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