函数f(x)在[0,+∞)上可导,f(0)=1,且满足 证明:x≥0时,不等式e-x≤f(x)≤1成立.

admin2020-05-02  20

问题 函数f(x)在[0,+∞)上可导,f(0)=1,且满足
      
证明:x≥0时,不等式e-x≤f(x)≤1成立.

选项

答案方法一 当x≥0时,f′(x)<0,即f(x)单调递减.又f(0)=1,所以f(x)≤f(0)=1.令φ(x)=f(x)一e-x,则φ(0)=0,[*]当x≥0时,φ′(x)≥0,即φ(x)单调递增,因而φ(x)≥φ(0)=0,即f(x)≥e-x. 综上所述,当x≥0时,不等式e-x≤f(x)≤1成立. 方法二 因为 [*] 所以[*]当x≥0时,[*]因而e-x≤f(x)≤1.

解析
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