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设f(x)在[0,1]上连续,证明:存在ξ∈(0,1),使得∫0ξf(t)dt+(ξ-1)f’(ξ)=0.
设f(x)在[0,1]上连续,证明:存在ξ∈(0,1),使得∫0ξf(t)dt+(ξ-1)f’(ξ)=0.
admin
2021-10-18
49
问题
设f(x)在[0,1]上连续,证明:存在ξ∈(0,1),使得∫
0
ξ
f(t)dt+(ξ-1)f’(ξ)=0.
选项
答案
由∫
0
x
f(t)dt+(x-1)f(x)=0,得∫
0
x
f(t)dt+xf(x)-f(x)=0,从而[x∫
0
x
f(t)dt-∫
0
x
f(t)dt]’=0,辅助函数为φ(x)=x∫
0
x
f(t)dt-∫
0
x
f(t)dt.令φ(x)=x∫
0
x
f(t)dt-∫
0
x
f(t)dt.因为φ(0)=φ(1)=0,所以由罗尔定理,存在ξ∈(0,1),使得φ’ (ξ)=0.而φ’(x)=∫
0
x
f(t)dt+(x-1)f(x),故∫
0
ξ
f(t)dt+(ξ-1)f(ξ)=0.
解析
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0
考研数学二
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