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已知线性方程组 的一个基础解系为(b11,b12,…,b1,2n)T,(b21,b22,…,b2,2n)T,…,(bn1,bn2,…,bn,2n)T.试写出线性方程 组 的逋解,并说明理由.
已知线性方程组 的一个基础解系为(b11,b12,…,b1,2n)T,(b21,b22,…,b2,2n)T,…,(bn1,bn2,…,bn,2n)T.试写出线性方程 组 的逋解,并说明理由.
admin
2013-02-27
35
问题
已知线性方程组
的一个基础解系为(b
11
,b
12
,…,b
1,2n
)
T
,(b
21
,b
22
,…,b
2,2n
)
T
,…,(b
n1
,b
n2
,…,b
n,2n
)
T
.试写出线性方程
组
的逋解,并说明理由.
选项
答案
记方程组(I)和(Ⅱ)的系数矩阵分别是A和B.由于B的每一行都是Ax=O的解,故AB
T
=0,那么BA
T
=(AB
T
)
T
=0.因此,A的行向量是方程组(Ⅱ)的解. 由于B的行向量是(I)的基础解系,它们应线性无关,从而知r(B)=n.且由(I)的解的结构,知2n-r(A)=n.故r(A)=n.于是A的行向量线性无关. 对于(II),由2n-r(B)=n,说明(Ⅱ)的基础解系由12个线性无关的解向量所构成,所以A的行向量是(II)的基础解系.于是(Ⅱ)的通解为:k
1
(a
11
,a
12
,…,a
1,2n
)
T
+k
2
(a
21
,a
22
,…,a
2,2n
)
T
)+k
n
(a
n1
,a
n2
,…,a
n,2n
)
T
,其中k
1
,k
2
,...,k
n
是任意常数.
解析
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考研数学三
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