已知线性方程组的一个基础解系为(b11，b12，…，b1，2n)T，(b21，b22，…，b2,2n)T，…，(bn1，bn2，…，bn,2n)T．试写出线性方程组的逋解，并说明理由．

admin2013-02-27 35

问题已知线性方程组

的一个基础解系为(b₁₁，b₁₂，…，b_1，2n)^T，(b₂₁，b₂₂，…，b_2,2n)^T，…，(b_n1，b_n2，…，b_n,2n)^T．试写出线性方程
组

的逋解，并说明理由．

选项

答案记方程组(I)和(Ⅱ)的系数矩阵分别是A和B．由于B的每一行都是Ax=O的解，故AB^T=0，那么BA^T=(AB^T)^T=0．因此，A的行向量是方程组(Ⅱ)的解．由于B的行向量是(I)的基础解系，它们应线性无关，从而知r(B)=n．且由(I)的解的结构，知2n-r(A)=n．故r(A)=n．于是A的行向量线性无关．对于(II)，由2n-r(B)=n，说明(Ⅱ)的基础解系由12个线性无关的解向量所构成，所以A的行向量是(II)的基础解系．于是(Ⅱ)的通解为：k₁(a₁₁，a₁₂，…，a_1,2n)^T+k₂(a₂₁，a₂₂，…，a_2,2n)^T)+k_n(a_n1，a_n2，…，a_n,2n)^T，其中k₁,k₂,...,k_n是任意常数．

解析

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考研数学三

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已知线性方程组的一个基础解系为(b11，b12，…，b1，2n)T，(b21，b22，…，b2,2n)T，…，(bn1，bn2，…，bn,2n)T．试写出线性方程组的逋解，并说明理由．

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