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设f(x)在[a,+∞)上阶可导,且f(a)>0,f′(a)<0,又当x>a时,f′(x)<0,证明:有且仅有一个ξ∈(a,+∞),使f(ξ)=0.
设f(x)在[a,+∞)上阶可导,且f(a)>0,f′(a)<0,又当x>a时,f′(x)<0,证明:有且仅有一个ξ∈(a,+∞),使f(ξ)=0.
admin
2020-05-02
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问题
设f(x)在[a,+∞)上阶可导,且f(a)>0,f′(a)<0,又当x>a时,f′(x)<0,证明:有且仅有一个ξ∈(a,+∞),使f(ξ)=0.
选项
答案
由f"(x)<0(x>a),可知f′(x)在[a,+∞)上单调递减,从而f′(x)<f′(a)<0,故f(x)也在[a,+∞)上单调递减.由拉格朗日定理知,存在ξ∈(a,x),使得 f(x)-f(a)=f′(ξ)(x-a)<f′(a)(x-a) 于是 f(x)<f(a)+f′(a)(x-a)(x>a) 故得 [*] 再由f(a)>0和零点定理知,至少存在一点[*]使f(ξ)=0. 又f(x)是单调递减函数,所以有且仅有一个ξ∈(a,+∞),使f(ξ)=0.
解析
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考研数学一
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