设f(x)在[a，+∞)上阶可导，且f(a)＞0，f′(a)＜0，又当x＞a时，f′(x)＜0，证明：有且仅有一个ξ∈(a，+∞)，使f(ξ)=0．

admin2020-05-02 16

问题设f(x)在[a，+∞)上阶可导，且f(a)＞0，f′(a)＜0，又当x＞a时，f′(x)＜0，证明：有且仅有一个ξ∈(a，+∞)，使f(ξ)=0．

选项

答案由f"(x)＜0(x＞a)，可知f′(x)在[a，+∞)上单调递减，从而f′(x)＜f′(a)＜0，故f(x)也在[a，+∞)上单调递减．由拉格朗日定理知，存在ξ∈(a，x)，使得 f(x)－f(a)=f′(ξ)(x－a)＜f′(a)(x－a) 于是 f(x)＜f(a)+f′(a)(x－a)(x＞a) 故得 [*] 再由f(a)＞0和零点定理知，至少存在一点[*]使f(ξ)=0．又f(x)是单调递减函数，所以有且仅有一个ξ∈(a，+∞)，使f(ξ)=0．

解析

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考研数学一

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