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  3. “基本不等式”是高中数学教学中的重要内容，请完成下列任务： (1)在“基本不等式”起始课的“教学重点”设计中，有两种方案： ①强调基本不等式在求数值中的应用，将基本不等式的应用作为重点。 ②强调基本不等式的背景，过程与意义，将学生感

“基本不等式”是高中数学教学中的重要内容，请完成下列任务： (1)在“基本不等式”起始课的“教学重点”设计中，有两种方案： ①强调基本不等式在求数值中的应用，将基本不等式的应用作为重点。 ②强调基本不等式的背景，过程与意义，将学生感

admin2017-04-24  51
问题 “基本不等式”是高中数学教学中的重要内容，请完成下列任务：
    (1)在“基本不等式”起始课的“教学重点”设计中，有两种方案：
    ①强调基本不等式在求数值中的应用，将基本不等式的应用作为重点。
    ②强调基本不等式的背景，过程与意义，将学生感受和体验“基本不等式”中“基本”的意义作为教学重点。
    你赞同哪种方案?简述理由。
    (2)给出a2＋b2≥2ab以及(a＞0，b＞0)的几何解释。
    (3)为了让高中生充分认识“基本不等式”中“基本”的意义，作为教师应该对此有多个维度的理解，请至少从两个维度谈谈你对“基本”意义的认识。
选项
答案(1)我更赞同第二种方案，理由如下： ①本节课定位为“基本不等式”的起始课，它是在学生已经系统地学习了不等式关系和不等式性质，掌握了不等式性质的基础上进行教学的。学生对于“基本不等式”还处于初步感知阶段，不能一步就理解如何实现基本不等式在求解简单最大(小)值当中的应用，因此，在“基本不等式”的起始课当中，应当先让学生结合基本不等式的背景和意义进行自主探索，了解不等式的证明过程，加深印象及存在原因后再学习应用会更好。 ②从新课程标准的要求出发，高中数学课程标准是指导教师进行课程安排、课程设计难易度的标尺，高考阶段的要求也是依据新课程标准来制定的，数学必修5当中，高中数学课程标准明确说明，基本不等式[*]≤(a，b≥0)在开始阶段，应将探索并了解基本不等式的证明过程放在重点位置。 ③从教材的编写来看，在基本不等式的这节一开始，是以北京召开的第24届国际数学家大会的会标为问题的背景，提问学生“你能在这个图中找到一些相等关系或不等关系吗?”利用面积间存在数量关系，抽象出不等式a2＋b2≥ab，并在此基础上，从三个角度引导学生认识、证明不等式[*](a，b≥0)，在之后的例题应用当中，才提及“基本不等式”在解决实际问题当中是解决最大(小)值问题的有力工具。 因此，从这三点来看，基本不等式的起始课的教学重点应该采用第二种方案，即强调基本不等式的背景、过程及意义，将学生感受和体验“基本不等式”中“基本”的意义作为教学重点。 (2)a2＋b2≥2ab的几何解释是：大正方形的面积大于四个三角形的面积和，当且仅当a＝b时，等号成立(即正方形的对角线将正方形分成4个等腰直角三角形，正方形的面积等于四个等腰三角形的面积和)。 [*]的几何解释是：以a＋b为直径的半圆，在直径AB上任一点C，过C作直径AB的垂线与半圆交于D点。由射影定理可得CD＝[*]，由图示显然可得CD≤OD(即一个圆的半径大于等于垂直该直径的弦的一半)，即得[*]。 [*] (3)从“数及其运算”的角度看，[*]是两个正数a，b的“平均数”；从定量几何的角度看，ab是长为a、宽为b的矩形面积，[*]就叫作两个非负数a，b的“几何平均数”。因此，不等式中涉及的是代数、几何中的“基本量”。而且有多种等价形式。 代数——涉及两个正数的运算，也就是通过加、减、乘、除、乘方、开方等运算而产生的变化。在对运算结果之间的大小关系比较中就可以得到各种表现形式。 几何——周长相等的矩形中，正方形的面积最大；或者，以a＋b为斜边的直角三角形中，等腰直角三角形的高最长；或者，更直观地，等圆中，弦长不大于直径；…… 函数——本质上是函数凹凸性的反映。例如，可以直接通过函数[*]，y＝χ2等学生最熟悉的函数的凹凸性导出公式；或者，利用函数图象的切线(本质上是“以直代曲”)，例如，过点(1，1)作曲线y＝[*]的切线，切线方程为y＝[*](χ＋1)，曲线y＝[*]总位于切线的下方，故有，[*]。令χ＝[*]，代入化简即得重要不等式。 也可以这样考虑：在一个平面内固定一条直线χ＋y＝2A，考察曲线族χy＝c(这里c是参数)，画图可看出，和给定直线有公共点，且使c取最大值的曲线，是和直线相切于(A，A)的那条曲线，这时c＝A2，于是χy≤[*]。 另外，掌握最简单的形式[*](a，b≥0)，推广到三维，再推广到多维形式，就是n个正数的几何平 均值不大于算术平均值的定理。 三维形式：对于三个正数a，b，c，有[*]，当且仅当a＝b＝c时，等号成立。 多维形式：若a1，a2，a3，…，an∈R+，则a1＋a2＋a3＋…＋an≥[*]当且仅当a1＝a2＝a3＝…＝an时，等号成立。 认识“基本”二字，是学习基本不等式这一节内容的前提，事实上，该不等式反映了实数的两种基本运算(即加法和乘法)所引出的大小变化，这一本质不仅反映在其代数结构上，而且也有几何意义，由此而生发出的问题在训练学生的代数推理能力和几何直观能力上都发挥了良好的作用。因此，必须从基本不等式的代数结构和几何意义两方面人手．才能让学生深刻理解官的本质。
解析
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