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设二阶常系数微分方程y’’+ay’+βy=ye2x有一个特解为y=e2x+(1+x)ex,试确定a、β、γ和此方程的通解.
设二阶常系数微分方程y’’+ay’+βy=ye2x有一个特解为y=e2x+(1+x)ex,试确定a、β、γ和此方程的通解.
admin
2013-10-11
109
问题
设二阶常系数微分方程y
’’
+ay
’
+βy=ye
2x
有一个特解为y=e
2x
+(1+x)e
x
,试确定a、β、γ和此方程的通解.
选项
答案
由此方程的非齐次项含e
2x
及特解形式知,e
2x
是非齐次方程的特解,而由线性微分方程解的性质知(1+x)e
x
应是其对应的齐次方程的解, 故r=1为此方程的齐次方程的特征方程的二重根,故特征方程为r
2
2r+1=0,由此得a=-2,β=1,故原方程为y
’’
-2y
’
+y=ye
2x
,将e
2x
代入得y=1,故得原方程为y
’’
-2y
’
+y=e
2x
,其通解为y=(C
1
+C
2
x)e
x
+e
2x
.
解析
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考研数学三
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