设f(x)在[a，b]上连续可导，且f(a)=0．证明： ∫abf2(x)dx≤∫ab[f′2(x)]2dx.

admin2022-03-20 3

问题设f(x)在[a，b]上连续可导，且f(a)=0．证明：
∫_a^bf²(x)dx≤

∫_a^b[f′²(x)]²dx.

选项

答案由f(a)=0，得f(x)-f(a)=f(x)=∫_a^xf′(t)dt，由柯西不等式得 f²(x)=(∫_a^xf′(t)dt)²≤∫_a^x1²dt∫_a^xf′²(t)dt≤(x-a)∫_a^bf′²(x)dx，积分得∫_a^bf²(x)dx≤∫_a^b(x-a)dx·∫_a^bf′²(x)dx=[(b-a)²/2]∫_a^bf′²(x)dx.

解析

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