汽车加油站共有两个加油窗口，现有三辆车A，B，C同时进入该加油站，假设A、B首先开始加油，当其中一辆车加油结束后立即开始第三辆车C加油．假设各辆车加油所需时间是相互独立且都服从参数为λ的指数分布． (Ⅰ)求第三辆车C在加油站等待加油时间T的概率密度； (Ⅱ

admin2016-10-26 28

问题汽车加油站共有两个加油窗口，现有三辆车A，B，C同时进入该加油站，假设A、B首先开始加油，当其中一辆车加油结束后立即开始第三辆车C加油．假设各辆车加油所需时间是相互独立且都服从参数为λ的指数分布．
(Ⅰ)求第三辆车C在加油站等待加油时间T的概率密度；
(Ⅱ)求第三辆车C在加油站度过时间S的概率密度．

选项

答案首先我们需要求出T、S与各辆车加油时间X_i(i=1，2，3)之间的关系．假设第i辆车加油时间为X_i(i=1，2，3)，则X_i独立同分布，且概率密度都为 [*] 依题意，第三辆车C在加油站等待加油时间T=min(X₁，X₂)，度过时间=等待时间+加油时间，即 S=T+X₃=min(X₁，X₂)+X₃． (Ⅰ)由于T=min(X₁，X₂)，其中X₁与X₂独立，所以T的分布函数 F_T(t)=P{min(X₁，X₂)≤t}=1一P{min(X₁，X₂)＞t}=1一P{X₁＞t}P{X₂＞t} [*] T的密度函数f_T(t)=[*]即T=min(X₁，X₂)服从参数为2λ的指数分布． (Ⅱ)S=T+X₃=min(X₁，X₂)+X₃，T与X₃独立且已知其概率密度，由卷积公式求得S的概率密度为 [*]

解析

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考研数学一

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