2. 考研
  3. 已知二次型f(x1，x2，x3)=4x22一3x32+4x1x2—4x1x3+8x2x3。 (1)写出二次型f的矩阵表达式； (2)用正交变换把二次型f化为标准形，并写出相应的正交矩阵。

已知二次型f(x1，x2，x3)=4x22一3x32+4x1x2—4x1x3+8x2x3。 (1)写出二次型f的矩阵表达式； (2)用正交变换把二次型f化为标准形，并写出相应的正交矩阵。

admin2015-09-14  33
问题 已知二次型f(x1，x2，x3)=4x22一3x32+4x1x2—4x1x3+8x2x3。
(1)写出二次型f的矩阵表达式；
(2)用正交变换把二次型f化为标准形，并写出相应的正交矩阵。
选项
答案(1)f的矩阵表达式为 [*] 得A的全部特征值为λ1=1，λ2=6，λ3=一6．计算可得，对应的特征向量分别可取为 α1=(2，0，一1)T，α2=(1，5，2)T，α3=(1，一1，2)T对应的单位特征向量为 [*] 则二次型f可化为如下标准形：f=y12+6y22一6y32。
解析 本题主要考查用正交变换化二次型为标准形的运算，其一般步骤是：
(1)正确写出二次型f的矩阵A；
(2)求一个正交矩阵P，使P-1AP=为对角阵；
(3)写出正交变换：

(4)写出f在上述正交变换下化成的标准形：f=λ1y12+…+λnyn2。
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考研数学三

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