2. 考研
  3. 设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且ef(x)arctanxdx=1，f(1)=ln2，试证：存在点ξ∈(0，1)，使得 (1+ξ2)f’(ξ)arctanξ=一1．

设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且ef(x)arctanxdx=1，f(1)=ln2，试证：存在点ξ∈(0，1)，使得 (1+ξ2)f’(ξ)arctanξ=一1．

admin2017-07-26  23
问题 设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且ef(x)arctanxdx=1，f(1)=ln2，试证：存在点ξ∈(0，1)，使得
    (1+ξ2)f’(ξ)arctanξ=一1．
选项
答案令F(x)=ef(x)arctanx．由已知条件，F(1)=ef(x)arctan1=[*]ef(x)arctanxdx=1．由积分中值定理，存在点η∈[0，[*]．于是，F(x)在[η，1]上连续，在(η，1)内可导，由洛尔定理，存在点ξ∈(η，1)[*](0，1)，使得F’(ξ)=0，即(1+ξ2)f’(ξ)arctanξ=一1．
解析
所以，可作辅助函数F(x)=ef(x)arctanx，用洛尔定理证明．
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考研数学三

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