设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)f(b)＞0，f(a)f()＜0．证明：存在ξ∈(a，b)，使得f’(ξ)=f(ξ)．

admin2015-06-26 53

问题设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)f(b)＞0，f(a)f(

)＜0．证明：存在ξ∈(a，b)，使得f’(ξ)=f(ξ)．

选项

答案不妨设f(a)>0，f(b)>0，f([*])<0，令φ(x)=e^—xf(x)，则 φ’(x)=e^—x[f’(x)一f(x)]．因为φ(a)>0，[*]，使得φ(ξ₁)=φ(ξ₂)=0，由罗尔定理，存在ξ∈(ξ，ξ)[*](a，b)，使得φ’(ξ)=0，即e^—ξ[f’(ξ)=f(ξ)]=0，因为e^—ξ≠0，所以f’(ξ)=f(ξ)．

解析

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考研数学三

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