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  3. 设A是m×n阶实矩阵，证明：(1)r(ATA)=r(A)；(2)ATAX=ATb一定有解．

设A是m×n阶实矩阵，证明：(1)r(ATA)=r(A)；(2)ATAX=ATb一定有解．

admin2015-07-22  59
问题 设A是m×n阶实矩阵，证明：(1)r(ATA)=r(A)；(2)ATAX=ATb一定有解．
选项
答案(1)设r(A)=r1，r(ATA)=r2，由于AX=0的解都满足(ATA)X=AT(AX)=0，故 AX=0的基础解系(含n一r1个无关解)含于ATAX=0的某个基础解系(含n一r2个无关解)之中，所 以n-r1≤n一r2，故有r2≤r1，即 r(ATA)≤r(A)． ① 又当ATAX=0时(X为实向量)，必有XTATAX=O，即(AX)TAX=0，设AX=[b1，b2，…，bm]T， 则(AX)T(AX)=[*]=0，必有b1=b2=…=bm=0，即AX=0，故方程组ATAX=0的解必满足 方程组AX=0，从而有 n一r(ATA)≤n一r(A)， r(A)≤r(ATA)． ② 由①，②得证r(A)=r(ATA)． (2)ATAX=ATb有解 [*](ATA)=r(ATA|ATb)． 由(1)知r(A)=r(AT)-r(ATA)，将AT，ATA=B以列分块，且B=ATA的每个列向量均可由AT 的列向量线性表出，故AT和B=ATA的列向量组是等价向量组，ATb是AT的列向量组的某个线性 组合，从而r(AT)=r(AT|ATb)=r(ATA|ATb)，故 r(ATA)=r(AT)=r(AT| ATb)=r(ATA |ATb)，故(ATA)X=ATb有解．
解析
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考研数学三

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