设A是m×n阶实矩阵，证明：(1)r(ATA)=r(A)；(2)ATAX=ATb一定有解．

admin2015-07-22 51

问题设A是m×n阶实矩阵，证明：(1)r(A^TA)=r(A)；(2)A^TAX=A^Tb一定有解．

选项

答案(1)设r(A)=r₁，r(A^TA)=r₂，由于AX=0的解都满足(A^TA)X=A^T(AX)=0，故 AX=0的基础解系(含n一r₁个无关解)含于A^TAX=0的某个基础解系(含n一r₂个无关解)之中，所以n-r₁≤n一r₂，故有r₂≤r₁，即 r(A^TA)≤r(A)． ① 又当A^TAX=0时(X为实向量)，必有X^TA^TAX=O，即(AX)^TAX=0，设AX=[b₁，b₂，…，b_m]^T，则(AX)^T(AX)=[*]=0，必有b₁=b₂=…=b_m=0，即AX=0，故方程组A^TAX=0的解必满足方程组AX=0，从而有 n一r(A^TA)≤n一r(A)， r(A)≤r(A^TA)． ② 由①，②得证r(A)=r(A^TA)． (2)A^TAX=A^Tb有解 [*](A^TA)=r(A^TA|A^Tb)．由(1)知r(A)=r(A^T)-r(A^TA)，将A^T，A^TA=B以列分块，且B=A^TA的每个列向量均可由A^T 的列向量线性表出，故A^T和B=A^TA的列向量组是等价向量组，A^Tb是A^T的列向量组的某个线性组合，从而r(A^T)=r(A^T|A^Tb)=r(A^TA|A^Tb)，故 r(A^TA)=r(A^T)=r(A^T| A^Tb)=r(A^TA |A^Tb)，故(A^TA)X=A^Tb有解．

解析

转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/Z5U4777K

考研数学三

相关试题推荐

随机试题

最新回复(0)

设A是m×n阶实矩阵，证明：(1)r(ATA)=r(A)；(2)ATAX=ATb一定有解．

考研数学三

中国共产党是中国工人阶级的先锋队，同时是中国人民和中华民族的先锋队，是中国特色社会主义事业的坚强领导()。

2022年国务院政府工作报告指出，强化()导向，坚持“资金、要素跟着项目走”，合理扩大使用范围，支持在建项目后续融资，开工一批具备条件的重大工程、新型基础设施、老旧公用设施改造等建设项目。

资本主义生产的直接目的和决定性动机，就是无休止地采取各种方法获取尽可能多的剩余价值。剩余价值的实质是

1945年8月，蒋介石连发三电，邀请毛泽东赴重庆谈判。8月28日，毛泽东偕同周恩来、王若飞，在国民党政府代表张治中和美国驻华大使赫尔利陪同下，赴重庆与国民党当局进行谈判。这一行动证明，共产党

下列各函数均为x→0时为无穷小，若取x为基本无穷小，求每个函数的阶：

求幂级数x2n的收敛域和函数.

现阶段，我国的统一战线称为()。

甲死后留有遗产36万元,其法定继承人有父母、配偶、儿子,对此遗产一般的分配是()

1分子乙酰CoA经三羧酸循环，可生成多少分子ATP

膜材PVA05-88中，05表示

1988年2月8日夜，赵某回家路上被人用木棍从背后击伤。经过长时间的访查，赵某于2007年10月31日掌握确凿证据证明将其打伤的是钱某。赵某要求钱某赔偿的诉讼时效届满日应为()。

资产负债表中的下列项目，需根据明细科目余额来编制的有()。

根据以下资料。回答101-105题。2009年上半年汽车市场中狭义乘用车份额较2008年同期增长1.2个百分点，而2008年同期市场共有516.4万台汽车。广义商用车份额占41%，下降1.2个百分点，其中重中轻卡下降4.5个百分点为18.9

电子商务安全问题源于互联网的______。

Mostpeoplewhogoonlinehavemainlypositiveexperience.But,(1)______anyendeavor—traveling,cooking,orattendingschool—th

A、Ashirt.B、Analarmclock.C、Awoolensweater.D、Asuitcase.B