设A是m×n阶实矩阵，证明：(1)r(ATA)=r(A)；(2)ATAX=ATb一定有解．

admin2015-07-22 33

问题设A是m×n阶实矩阵，证明：(1)r(A^TA)=r(A)；(2)A^TAX=A^Tb一定有解．

选项

答案(1)设r(A)=r₁，r(A^TA)=r₂，由于AX=0的解都满足(A^TA)X=A^T(AX)=0，故 AX=0的基础解系(含n一r₁个无关解)含于A^TAX=0的某个基础解系(含n一r₂个无关解)之中，所以n-r₁≤n一r₂，故有r₂≤r₁，即 r(A^TA)≤r(A)． ① 又当A^TAX=0时(X为实向量)，必有X^TA^TAX=O，即(AX)^TAX=0，设AX=[b₁，b₂，…，b_m]^T，则(AX)^T(AX)=[*]=0，必有b₁=b₂=…=b_m=0，即AX=0，故方程组A^TAX=0的解必满足方程组AX=0，从而有 n一r(A^TA)≤n一r(A)， r(A)≤r(A^TA)． ② 由①，②得证r(A)=r(A^TA)． (2)A^TAX=A^Tb有解 [*](A^TA)=r(A^TA|A^Tb)．由(1)知r(A)=r(A^T)-r(A^TA)，将A^T，A^TA=B以列分块，且B=A^TA的每个列向量均可由A^T 的列向量线性表出，故A^T和B=A^TA的列向量组是等价向量组，A^Tb是A^T的列向量组的某个线性组合，从而r(A^T)=r(A^T|A^Tb)=r(A^TA|A^Tb)，故 r(A^TA)=r(A^T)=r(A^T| A^Tb)=r(A^TA |A^Tb)，故(A^TA)X=A^Tb有解．

解析

转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/Z5U4777K

考研数学三

相关试题推荐

随机试题

最新回复(0)

设A是m×n阶实矩阵，证明：(1)r(ATA)=r(A)；(2)ATAX=ATb一定有解．

考研数学三

2022年1月18日，习近平总书记在十九届中央纪委六次全会上发表重要讲话强调，要加固()的堤坝，锲而不舍纠“四风”树新风。()是党和国家事业发展的大敌。

据新华社2021年3月31日报道，“十四五”规划和2035年远景目标纲要提出。发展壮大城市群和都市圈，分类引导大中小城市发展方向和建设重点，形成()的城镇化空间格局。

创新、协调、()的新发展理念是在深刻总结国内外发展经验教训、分析国内外发展大势的基础上形成的，也是针对我国发展中的突出矛盾和问题提出来的。

中国共产党是中国工人阶级的先锋队，同时是中国人民和中华民族的先锋队，是中国特色社会主义事业的坚强领导()。

“明者因时而变，知者随事而制。”中国经济已经进入新常态，不能用“旧常态”的思想继续引导新常态的实践和发展，也不能用“旧常态”的观念来判断、甚至制约新常态的改革发展与创新实践。更好引领新常态的根本之策是

垄断资本在世界范围的扩展，反映了资本主义发展的必然逻辑，也反映了资本主义发展的本质。垄断资本向世界范围扩展的经济动因是

根据级数收敛与发散的定义判别下列级数的收敛性，并求出其中收敛级数的和：

为了避免焊接热影响区韧性的恶化，不推荐大电流、粗丝、多丝埋弧焊工艺。

下面哪项不是双胎的剖宫产指征

关于口腔医学美学的形式美的主要法则中下述哪项准确

女，24岁。低热，腹胀4个月，消瘦，停经。查体：全腹膨隆，未触及肿块，移动性浊音(+)。腹腔积液检查：比重1．018，蛋白37g／L。细胞数580×106／L，淋巴细胞0．80，最可能的疾病是（）

关于慢性阻塞性肺疾病，下列说法正确的是()。

水流在直径为d的圆管中满流流动时，湿周χ和水力半径R分别是()。

下列费用中，应计入设备运杂费的有()。

一般纳税人因销售货物退回或者折让而退还给购买方的增值税额，应从发生销售货物退回或者折让当期的销项税额中扣减。()

针对8位二进制数，下列说法中正确的是()。

Oldfriends,theyfinishyoursentences,theyrememberthecatthatranawaywhenyouweretwelve,andtheytellyouthetruthw