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已知向量a,b,满足∣a∣=∣b∣=1,且,其中k>0。 (1)试用k表示a·b,并求出a·b的最大值及此时a与b的夹角θ的值; (2)当a·b取得最大值时,求实数λ,使∣a+λb∣的值最小,并对这一结论作出几何解释。
已知向量a,b,满足∣a∣=∣b∣=1,且,其中k>0。 (1)试用k表示a·b,并求出a·b的最大值及此时a与b的夹角θ的值; (2)当a·b取得最大值时,求实数λ,使∣a+λb∣的值最小,并对这一结论作出几何解释。
admin
2015-08-13
77
问题
已知向量a,b,满足∣a∣=∣b∣=1,且
,其中k>0。
(1)试用k表示a·b,并求出a·b的最大值及此时a与b的夹角θ的值;
(2)当a·b取得最大值时,求实数λ,使∣a+λb∣的值最小,并对这一结论作出几何解释。
选项
答案
(1)∵∣a-kb∣=[*]∣ka+b∣ ∴(∣a-kb∣)
2
=3(∣ka+b∣)
2
即a
2
-2kab+k
2
b
2
=3(k
2
a
2
+2kab+b
2
) ∴[*] ∵∣a∣=∣b∣=1 ∴a·b的最大值时[*] 即a·b为最大值[*]时a与b的夹角θ的值为[*] (2)由题意知:[*],故∣a+λb∣
2
=a
2
+2λab+λ
2
b
2
=λ
2
-λ+1=[*] ∴当[*]时,∣a+λb∣的值最小。 如图所示:在边长为1的正三角形△ABC中,[*],即D为线段AC的中点时,[*]。 (或:此时[*],即当(a+λb)⊥b时,∣a+λb∣的值最小。) [*]
解析
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数学学科知识与教学能力题库教师资格分类
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数学学科知识与教学能力
教师资格
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