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设f(x)在[0,+∞)上二阶可导,f(0)=0,f〞(x)<0,当0<a<x<b时,有( )
设f(x)在[0,+∞)上二阶可导,f(0)=0,f〞(x)<0,当0<a<x<b时,有( )
admin
2022-05-20
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问题
设f(x)在[0,+∞)上二阶可导,f(0)=0,f〞(x)<0,当0<a<x<b时,有( )
选项
A、af(x)>xf(a)
B、bf(x)>xf(b)
C、xf(x)>bf(b)
D、xf(x)>af(a)
答案
B
解析
令F(x)=f(x)/x(x>0),则
F’(x)=[xf’(x)-f(x)]/x
2
={xf’(x)-[f(x)-f(0)]}/x
2
=[xf’(x)-xf’(ξ)]/x
2
=[f’(x)-f’(ξ)]/x,
其中0<ξ<x<b.
由f"(x)<0,知f’(x)单调减少,故F’(x)<0,从而F(x)单调减少,于是有f(x)/x>f(b)/b,即bf(x)>xf(b),故B正确.
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考研数学三
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