2. 考研
  3. 设A为n阶非奇异矩阵，a为n维列向量，b为常数，记分块矩阵 其中A*是矩阵A的伴随矩阵，I为n阶单位矩阵． 　　(1)计算并化简PQ； 　　(2)证明：矩阵Q可逆的充分必要条件是aTA-1a≠b．

设A为n阶非奇异矩阵，a为n维列向量，b为常数，记分块矩阵 其中A*是矩阵A的伴随矩阵，I为n阶单位矩阵． 　　(1)计算并化简PQ； 　　(2)证明：矩阵Q可逆的充分必要条件是aTA-1a≠b．

admin2021-01-25  43
问题 设A为n阶非奇异矩阵，a为n维列向量，b为常数，记分块矩阵
   
其中A*是矩阵A的伴随矩阵，I为n阶单位矩阵．
　　(1)计算并化简PQ；
　　(2)证明：矩阵Q可逆的充分必要条件是aTA-1a≠b．
选项
答案(1) 因为AA*=A*A=∣A∣I，故[*] 　　(2) 由(1)可得 ∣PQ∣=∣A∣2(b—aTA-1a)而∣PQ∣=∣P∣·∣Q∣，且由P的定义知∣P∣=∣A∣≠0，故由上式得 ∣Q∣=∣A∣(b—aTA-1a)由此可知∣Q∣≠0<=>b一aTA-1a≠0，即矩阵Q可逆<=>aTA-1a≠b．
解析 本题综合考查分块矩阵的乘法、伴随矩阵的性质、方阵可逆的条件．注意，两个分块矩阵，只要左边矩阵关于列的分法与右边矩阵关于行的分法是一致的，就可以相乘，相乘的法则也是“左行乘右列”，这里特别要注意相乘的小块矩阵的左右次序要与相乘的两个大矩阵的左右次序保持一致，例如，PQ的第2行第2列处的小块矩阵为
   
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考研数学三

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