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设随机变量X和Y相互独立,且均服从参数为1的指数分布,记U=max(X,Y),V=min(X,Y). (1)求V的概率密度fV(v);(2)E(U+V),E(UV).
设随机变量X和Y相互独立,且均服从参数为1的指数分布,记U=max(X,Y),V=min(X,Y). (1)求V的概率密度fV(v);(2)E(U+V),E(UV).
admin
2017-12-23
34
问题
设随机变量X和Y相互独立,且均服从参数为1的指数分布,记U=max(X,Y),V=min(X,Y).
(1)求V的概率密度f
V
(v);(2)E(U+V),E(UV).
选项
答案
由于X和Y相互独立,都服从参数为1的指数分布,所以E(X)=E(Y)=1,且X的分布函数为 [*] (1)设V的分布函数为F
min
(v),则 F
min
(v)=1一[1-F(v)]
2
=1=e
-2v
,v>0. 故f
V
(v)=[*] (2)E(U+V)=E(X+Y)=E(X)+E(Y)=2. E(UV)=E(X)E(Y)=1×1=1.
解析
本题考查独立同分布条件下最大值和最小值的分布.先写出V的分布函数,再求导得到其概率密度.注意到U+V=X+Y,UV=XY,利用性质和指数分布期望的结果得到E(U+V),E(UV).
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考研数学二
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