已知A是4阶矩阵，A是A的伴随矩阵．若A的特征值是1，一1，3，9，则不可逆矩阵是[ ]．

admin2016-03-01 40

问题已知A是4阶矩阵，A^*是A的伴随矩阵．若A^*的特征值是1，一1，3，9，则不可逆矩阵是[ ]．

选项 A、A—I
B、A+I
C、A+2I
D、2A+I

答案B

解析由A^*的特征值是1，一1，3，9可得｜A^*｜=一27．又因｜A^*｜=｜A｜^n-1，所以｜A｜³=一27，即｜A｜=一3．
根据性质：如果可逆矩阵A的特征值是λ，其伴随矩阵A^*的特征值为λ^*，则有λ=

．
因此，A-I的特征值为一4，2，一2，一

．因A-I的特征值非零，所以A-I可逆．
A+I的特征值为一2，4，0，

．因A+I的特征值中有为0的数，所以A+I不可逆．
故选(B)．

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