2. 考研
  3. 设A是三阶不可逆矩阵，α,β是线性无关的两个三维列向量，且满足Aα=β，Aβ=α，则 ( )．

设A是三阶不可逆矩阵，α,β是线性无关的两个三维列向量，且满足Aα=β，Aβ=α，则 ( )．

admin2010-06-23  39
问题 设A是三阶不可逆矩阵，α,β是线性无关的两个三维列向量，且满足Aα=β，Aβ=α，则 (    )．
   
选项 A、 
B、 
C、 
D、 
答案B
解析 由已知得
   Aα=β，    ①
   Aβ=α．    ②
   由①+②得Aα+Aβ=β+α，即A(α+β)=1?(α+β)．又已知α,β线性无关，故α+β≠0．
   所以λ1=1是A的一个特征值．
   由①-②得Aα-Aβ=β-α，即A(α-β)=-1?(α-β)．同理α-β≠0，所以λ2=-1是A的第2个特征值．
   又已知A是不可逆矩阵，故|A|=0，则λ3=0是A的第3个特征值．
   由于三阶矩阵具有3个不同的特征值λ1=1,λ2=-1,λ3=0，故A可对角化，且
   
   故正确的选择应为B．
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