设A是三阶不可逆矩阵，α,β是线性无关的两个三维列向量，且满足Aα=β，Aβ=α，则 ( )．

admin2010-06-23 74

问题设A是三阶不可逆矩阵，α,β是线性无关的两个三维列向量，且满足Aα=β，Aβ=α，则 ( )．

选项 A、
B、
C、
D、

答案B

解析由已知得
Aα=β， ①
Aβ=α． ②
由①+②得Aα+Aβ=β+α，即A(α+β)=1?(α+β)．又已知α,β线性无关，故α+β≠0．
所以λ₁=1是A的一个特征值．
由①-②得Aα-Aβ=β-α，即A(α-β)=-1?(α-β)．同理α-β≠0，所以λ₂=-1是A的第2个特征值．
又已知A是不可逆矩阵，故|A|=0，则λ₃=0是A的第3个特征值．
由于三阶矩阵具有3个不同的特征值λ₁=1,λ₂=-1,λ₃=0，故A可对角化，且

故正确的选择应为B．

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设A是三阶不可逆矩阵，α,β是线性无关的两个三维列向量，且满足Aα=β，Aβ=α，则 ( )．

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