2. 考研
  3. 设函数f(x)在[0，π]上连续，且∫0πf(x)dx=∫0πf(x)cosxdx=0。试证明在(0，π)内至少存在两个不同的点ξ1，ξ2，使(ξ1)=f(ξ2)=0。

设函数f(x)在[0，π]上连续，且∫0πf(x)dx=∫0πf(x)cosxdx=0。试证明在(0，π)内至少存在两个不同的点ξ1，ξ2，使(ξ1)=f(ξ2)=0。

admin2018-01-30  131
问题 设函数f(x)在[0，π]上连续，且∫0πf(x)dx=∫0πf(x)cosxdx=0。试证明在(0，π)内至少存在两个不同的点ξ1，ξ2，使(ξ1)=f(ξ2)=0。
选项
答案令F(x)=∫0xf(t)dt，0≤x≤π，则有F(0)=0，F(π)=0。又因为 0=∫0πcosxdx=∫0πcosxdF(x) =F(x)cosx｜0π+∫0πF(x)sinxdx =∫0πF(x)sinxdx， 所以存在ξ∈(0，π)，使F(ξ)sinξ=0，不然，则在(0，π)内F(x)sinx恒为正或恒为负，与∫0πF(x)sinxdx=0矛盾，但当ξ∈(0，π)时，sinξ≠0，故F(ξ)=0。 由以上证得，存在满足0＜ξ＜π的ξ，使得 F(0)=F(ξ)=F(π)=0， 再对F(x)在区间[0，ξ]，[ξ，π]上分别用罗尔定理知，至少存在ξ1∈(0，ξ)，ξ2∈(ξ，π)，使得 F’(ξ1)=F’(ξ2)=0，且f(ξ1)=f(ξ2)=0。
解析
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考研数学二

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