2. 考研
  3. 设4阶矩阵A=（α1，α2，α3，α4），方程组Ax=β的通解为（1，2，2，1）T+c（1，一2，4，0）T，c任意．记β=（α3，α2，α1，β一α4）．求方程组Bx=α1一α2的通解．

设4阶矩阵A=（α1，α2，α3，α4），方程组Ax=β的通解为（1，2，2，1）T+c（1，一2，4，0）T，c任意．记β=（α3，α2，α1，β一α4）．求方程组Bx=α1一α2的通解．

admin2016-07-29  102
问题 设4阶矩阵A=（α1，α2，α3，α4），方程组Ax=β的通解为（1，2，2，1）T+c（1，一2，4，0）T，c任意．记β=（α3，α2，α1，β一α4）．求方程组Bx=α1一α2的通解．
选项
答案首先从AX=β的通解为(1，2，2，1)T+c(1，一2，4，0)T可得到下列信息： ①Ax=0的基础解系包含1个解，即4一r(A)=l，得r(A)=3．即r(α1，α2，α3，α4)=3． ②(1，2，2，1)T是Ax=β解，即α1+2α1+2α3+α4=β． ③(1，一2，4，0)T是Ax=0解，即α1—2α2+4α3=0． α1，α2，α3线性相关，r(α1，α2，α3)=2．显然B(0，一1，1，0)T=α1一α2，即(0，一1，l，0)T是Bx=α1一α2的一个解． 由②，B=(α3，α2，α1，β一α4)=(α3，α2，α1，α1+2α2+2α3)，于是r(B)=r(α3，α2，α1，α1+2α2+2α3)=r(α1，α2，α3)=2． 则Bx=0的基础解系包含解的个数为4一r(B)=2个． α1一2α2+4α3=0 说明(4，一2，1，0)T是Bx=0的解；又从B=(α3，α2，α1，α1+2α2+2α3) 容易得到B(一2，一2，一1，1)T=0，说明(一2，一2，一l，1)T也是Bx=0的解． 于是(4，一2，1，0)T和(一2，一2，一l，1)T构成Bx=0的基础解系． Bx=α1一α2的通解为： (0，一1，1，0)T+c1(4，一2，1，0)T+c2(一2，一2，一1，1)T，c1，c2任意．
解析
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考研数学三

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