2. 考研
  3. 设α1,α2……αs为线性方程组Ax=0的一个基础解系，β1=t1α1+t2α2，β2=t1α2+t2α3，…，βs=t1αs+t2α1，其中t1，t2为实常数．试问t1，t2满足什么关系时，β1β2……βs也为Ax=0的一个基础解系．

设α1,α2……αs为线性方程组Ax=0的一个基础解系，β1=t1α1+t2α2，β2=t1α2+t2α3，…，βs=t1αs+t2α1，其中t1，t2为实常数．试问t1，t2满足什么关系时，β1β2……βs也为Ax=0的一个基础解系．

admin2017-07-10  71
问题 设α1,α2……αs为线性方程组Ax=0的一个基础解系，β1=t1α1+t2α2，β2=t1α2+t2α3，…，βs=t1αs+t2α1，其中t1，t2为实常数．试问t1，t2满足什么关系时，β1β2……βs也为Ax=0的一个基础解系．
选项
答案由于βi(i=1，2，…，s)为α1,α2……αs的线性组合，所以βi(i=1，2，…，s)均为Ax=0的解．设k1β1+k2β2+…+ksβs=0，即(t1k1+t2ks)α1+(t1k1+t1k2)α2+…+(t2ks-1+t1ks)αs=0，由于α1,α2……αs线性无关，因此有[*]其系数行列式[*]当t1s+(一1)s+1t2s≠0，即当s为偶数，t1≠±t2，s为奇数，t1≠一t2时，方程组(*)只有零解k1=k2=…=ks=0，从而β1，β2……βs线性无关，此时β1β2……βs也为Ax=0的一个基础解系．
解析 本题考查齐次线性方程组的基础解系的概念和向量组线性相关性的概念和判定．
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考研数学二

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