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设α1,α2……αs为线性方程组Ax=0的一个基础解系，β1=t1α1+t2α2，β2=t1α2+t2α3，…，βs=t1αs+t2α1，其中t1，t2为实常数．试问t1，t2满足什么关系时，β1β2……βs也为Ax=0的一个基础解系．
设α1,α2……αs为线性方程组Ax=0的一个基础解系，β1=t1α1+t2α2，β2=t1α2+t2α3，…，βs=t1αs+t2α1，其中t1，t2为实常数．试问t1，t2满足什么关系时，β1β2……βs也为Ax=0的一个基础解系．
admin
2017-07-10
74
问题
设α
1
,α
2
……α
s
为线性方程组Ax=0的一个基础解系，β
1
=t
1
α
1
+t
2
α
2
，β
2
=t
1
α
2
+t
2
α
3
，…，β
s
=t
1
α
s
+t
2
α
1
，其中t
1
，t
2
为实常数．试问t
1
，t
2
满足什么关系时，β
1
β
2
……β
s
也为Ax=0的一个基础解系．
选项
答案
由于β
i
(i=1，2，…，s)为α
1
,α
2
……α
s
的线性组合，所以β
i
(i=1，2，…，s)均为Ax=0的解．设k
1
β
1
+k
2
β
2
+…+k
s
β
s
=0，即(t
1
k
1
+t
2
k
s
)α
1
+(t
1
k
1
+t
1
k
2
)α
2
+…+(t
2
k
s-1
+t
1
k
s
)α
s
=0，由于α
1
,α
2
……α
s
线性无关，因此有[*]其系数行列式[*]当t
1
s
+(一1)
s+1
t
2
s
≠0，即当s为偶数，t
1
≠±t
2
，s为奇数，t
1
≠一t
2
时，方程组(*)只有零解k
1
=k
2
=…=k
s
=0，从而β
1
，β
2
……β
s
线性无关，此时β
1
β
2
……β
s
也为Ax=0的一个基础解系．
解析
本题考查齐次线性方程组的基础解系的概念和向量组线性相关性的概念和判定．
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/ZYt4777K
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考研数学二
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