首页
外语
计算机
考研
公务员
职业资格
财经
工程
司法
医学
专升本
自考
实用职业技能
登录
考研
设A为三阶矩阵,有三个不同特征值λ1,λ2,λ3,对应的特征向量依次为α1,α2,α3,令β=α1+α2+α3. (1)证明:β不是A的特征向量; (2)β,Aβ,A2β线性无关; (3)若A3β=Aβ,计算行列式|2A+3E|.
设A为三阶矩阵,有三个不同特征值λ1,λ2,λ3,对应的特征向量依次为α1,α2,α3,令β=α1+α2+α3. (1)证明:β不是A的特征向量; (2)β,Aβ,A2β线性无关; (3)若A3β=Aβ,计算行列式|2A+3E|.
admin
2016-01-25
114
问题
设A为三阶矩阵,有三个不同特征值λ
1
,λ
2
,λ
3
,对应的特征向量依次为α
1
,α
2
,α
3
,令β=α
1
+α
2
+α
3
.
(1)证明:β不是A的特征向量;
(2)β,Aβ,A
2
β线性无关;
(3)若A
3
β=Aβ,计算行列式|2A+3E|.
选项
答案
(1)证一 假设β为A的特征向量,则存在λ
0
,使Aβ=λ
0
β,即 A(α
1
+α
2
+α
3
)=λ
0
(α
1
+α
2
+α
3
), 得 (λ
1
-λ
0
)α
1
+(λ
2
-λ
0
)α
2
(λ
3
-λ
0
)α
3
=0. 由α
1
,α
2
,α
3
线性无关知 λ
1
-λ
0
=0, λ
2
-λ
0
=0, λ
3
-λ
0
=0, 从而有λ
1
=λ
2
=λ
3
,这与已知条件矛盾,因此β不是A的特征向量. 证二 因α
1
,α
2
,α
3
是属于不同特征值的特征向量,故α
1
+α
2
+α
3
必不是A的特征向量. (2) 设 k
1
β+k
2
Aβ+k
3
A
2
β=0 则 (k
1
+k
2
λ
1
+k
3
[*])α
3
=0. 由α
1
,α
2
,α
3
线性无关,得 [*] 因上方程组的系数矩阵的行列式为三阶范德蒙行列式,又因λ
1
≠λ
2
≠λ
3
,故该方程组只有零 解,故 k
1
=k
2
=k
3
=0 所以β,Aβ,A
2
β线性无关. (3) 由题设有 A[β,Aβ,A
2
β]=[Aβ,A
2
β,A
3
β]=[Aβ,A
2
β,Aβ]=[β,Aβ,A
2
β][*] 令P=[β,Aβ,A
2
β],则P可逆,且 [*] 于是P
-1
(2A+3E)P=2B+3E, 从而 |2A+3E|=|2B+3E|=[*]=15.
解析
(1)可用反证法证之;
(2)用线性无关定义证明;
(3)因β,Aβ,A
2
β线性无关,用矩阵表示法可求出A的相似矩阵B,由|A|=|B|得
|2B+3E|=|2A+3E|.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/ZdU4777K
0
考研数学三
相关试题推荐
材料1 每当经历一些重大事件、重大任务,或面临重要关头、关键时刻,常常会孕育并诞生一种崇高而伟大的精神。我党历史上的红船精神、井冈山精神、长征精神、延安精神、大庆精神、“两弹一星”精神、雷锋精神、改革开放精神以及抗洪、抗震、女排精神等,都是时代的呼唤、
设α1,α2,…,αm-1(m≥3)线性相关,向量组α2,…,αm线性无关,试讨论αm能否由α1,α2,…,αm-1线性表示?
设α1,α2,…,αm-1(m≥3)线性相关,向量组α2,…,αm线性无关,试讨论α1能否由α2,α3,…,αm-1线性表示?
设n阶实对称矩阵A满足条件A2+6A+8E=O,且A+tE是正定矩阵,则t的取值范围为_______.
将函数分别展开成正弦级数和余弦级数.
验证下列函数满足波动方程utt=a2uxx:(1)u=sin(kx)sin(akt);(2)u=ln(x+at);(3)u=sin(x-at).
本题考察有趣的雪花曲线.雪花曲线是这样作出来的:以边长为1的等边三角形作为基础,第一步:将每边三等分,以每边的中间一段为底各向外作一个小的等边三角形,随后把这三个小等边三角形的底边删除.第二步:在第一步得出的多边形的每条边上重复第一步,如此无限地继续下去,
证明:与锥面z2=x2+y2相切的平面通过坐标原点.
设F1(x)与F2(x)分别为随机变量,X1与X2的分布函数,为使F(x)=aF1(x)-bF2(x)是某一随机变量的分布函数,在下列给定的各组数值中应取().
随机试题
川端康成的成名作是
下列选项中,属于家庭美德基本要求的是【】
X线管焦点的调制传递函数(MTF)的叙述,错误的是
提高TN系统接地故障保护灵敏性的措施有()。
新拌混凝土的质量主要包括()。
美方提供的CPU、硬盘申报进口时,企业应向海关提交的单证是()。外商提供的CPU、硬盘进口时,海关可以()。
阅读下面这首宋词,然后回答问题。满江红.登黄鹤楼有感岳飞遥望中原,荒烟外,许多城郭。想当年,花
在1997年的社会消费品零售额中用的商品所占的比例为()。在五年中,哪一种消费品在社会消费品零售额中一直都是最大的?()
根据给定材料,概括出我国人口老龄化的主要特征。要求:内容全面,概括到位,篇幅在200字左右。根据材料所反映的主要问题,就如何解决我国人口老龄化问题,提出具体可行的对策或建议,由此写成一篇论文。要求:结构完整,逻辑严密,论说充分;自选角度,自拟标题,篇幅
Itiscommonlyheldthatdrinkingmoderateamountsofalcoholcanreducetheoddsofhavingadeadlyheartattack.More【B1】_____
最新回复
(
0
)