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设A为三阶矩阵,有三个不同特征值λ1,λ2,λ3,对应的特征向量依次为α1,α2,α3,令β=α1+α2+α3. (1)证明:β不是A的特征向量; (2)β,Aβ,A2β线性无关; (3)若A3β=Aβ,计算行列式|2A+3E|.
设A为三阶矩阵,有三个不同特征值λ1,λ2,λ3,对应的特征向量依次为α1,α2,α3,令β=α1+α2+α3. (1)证明:β不是A的特征向量; (2)β,Aβ,A2β线性无关; (3)若A3β=Aβ,计算行列式|2A+3E|.
admin
2016-01-25
112
问题
设A为三阶矩阵,有三个不同特征值λ
1
,λ
2
,λ
3
,对应的特征向量依次为α
1
,α
2
,α
3
,令β=α
1
+α
2
+α
3
.
(1)证明:β不是A的特征向量;
(2)β,Aβ,A
2
β线性无关;
(3)若A
3
β=Aβ,计算行列式|2A+3E|.
选项
答案
(1)证一 假设β为A的特征向量,则存在λ
0
,使Aβ=λ
0
β,即 A(α
1
+α
2
+α
3
)=λ
0
(α
1
+α
2
+α
3
), 得 (λ
1
-λ
0
)α
1
+(λ
2
-λ
0
)α
2
(λ
3
-λ
0
)α
3
=0. 由α
1
,α
2
,α
3
线性无关知 λ
1
-λ
0
=0, λ
2
-λ
0
=0, λ
3
-λ
0
=0, 从而有λ
1
=λ
2
=λ
3
,这与已知条件矛盾,因此β不是A的特征向量. 证二 因α
1
,α
2
,α
3
是属于不同特征值的特征向量,故α
1
+α
2
+α
3
必不是A的特征向量. (2) 设 k
1
β+k
2
Aβ+k
3
A
2
β=0 则 (k
1
+k
2
λ
1
+k
3
[*])α
3
=0. 由α
1
,α
2
,α
3
线性无关,得 [*] 因上方程组的系数矩阵的行列式为三阶范德蒙行列式,又因λ
1
≠λ
2
≠λ
3
,故该方程组只有零 解,故 k
1
=k
2
=k
3
=0 所以β,Aβ,A
2
β线性无关. (3) 由题设有 A[β,Aβ,A
2
β]=[Aβ,A
2
β,A
3
β]=[Aβ,A
2
β,Aβ]=[β,Aβ,A
2
β][*] 令P=[β,Aβ,A
2
β],则P可逆,且 [*] 于是P
-1
(2A+3E)P=2B+3E, 从而 |2A+3E|=|2B+3E|=[*]=15.
解析
(1)可用反证法证之;
(2)用线性无关定义证明;
(3)因β,Aβ,A
2
β线性无关,用矩阵表示法可求出A的相似矩阵B,由|A|=|B|得
|2B+3E|=|2A+3E|.
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考研数学三
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