计算三重积分绕z轴旋转一周所形成的曲面与两平面z=2,z=8所围成的空间闭区域.

admin2017-05-31  37

问题 计算三重积分绕z轴旋转一周所形成的曲面与两平面z=2,z=8所围成的空间闭区域.

选项

答案利用“先二后一”的柱坐标公式. [*] 由于垂直于坐标x轴的平面(2≤x≤4)与空间区域Ω的截面为圆,则积分区域Ω可以表示为Ω={(x,y,z)|x2+y2≤2x,2≤x≤8}, 即固定2≤x≤8,垂直于坐标z轴的平面Z=z与Ω的截面为圆域D(x):x2+y2≤2z. 于是, [*]

解析 本题主要考查三重积分在直角坐标系下的计算方法.
当积分区域Ω的边界曲面方程容易用极坐标表示,且积分区域Ω为柱体,或被积函数为f(x2+y2)时,三重积分应采用柱坐标变换的换元公式

此时,应注意确定变量r、φ、θ的取值范围.
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