2. 考研
  3. 设f(x)，g(x)在区间[一a，a](a＞0)上连续，g(x)为偶函数，且f(x)满足条件f(x)+f(一x)=A(A为常数) (1)证明∫-aaf(x)g(x)dx=A∫0ag(x)dx； (2)利用(1)的结论计算定积分

设f(x)，g(x)在区间[一a，a](a＞0)上连续，g(x)为偶函数，且f(x)满足条件f(x)+f(一x)=A(A为常数) (1)证明∫-aaf(x)g(x)dx=A∫0ag(x)dx； (2)利用(1)的结论计算定积分

admin2017-12-23  110
问题 设f(x)，g(x)在区间[一a，a](a＞0)上连续，g(x)为偶函数，且f(x)满足条件f(x)+f(一x)=A(A为常数)
(1)证明∫-aaf(x)g(x)dx=A∫0ag(x)dx；
(2)利用(1)的结论计算定积分
选项
答案(1)∫-aaf(x)g(x)dx=∫-a0f(x)g(x)dx+∫0af(x)g(x)dx， 其中[*] 于是 ∫-aaf(x)g(x)dx=∫0af(一x)g(x)dx+∫0af(x)g(x)dx =∫0a[f(一x)+f(x)]g(x)dx=A∫0ag(x)dx． (2)取f(x)=arctan ex，g(x)=|sinx|，[*]上连续，g(x)为偶函数，又 (arctan ex+arctan e-x)’=0， 所以 arctan ex+arctan e-x=A． 令x=0，得2arctan 1=A，即[*]．于是 [*]
解析
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考研数学二

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