设二阶可导函数f(x)满足f(1)=f(－1)=1，f(0)=－1且f"(x)＞0，则( )

admin2018-04-14 64

问题设二阶可导函数f(x)满足f(1)=f(－1)=1，f(0)=－1且f"(x)＞0，则( )

选项 A、∫_－1¹f(x)dx＞0。
B、∫_－1¹f(x)dx＜0。
C、∫_－1⁰f(x)dx＞∫₀¹f(x)dx。
D、∫_－1⁰f(x)dx＜∫₀¹f(x)dx。

答案B

解析由于f"(x)＞0，可知函数f(x)是凹函数，也即
f(x)≤f(0)+[f(1)－f(0)]x=2x－1，x∈(0，1)，
因此∫₀¹f(x)dx＜∫₀¹(2x－1)dx=0。
同理f(x)≤f(0)+[f(0)－f(－1)]x=－2x－1，x∈(－1，0)，
因此∫_－1⁰f(x)dx＜∫_－1⁰(－2x－1)dx=0，
从而∫_－1¹f(x)dx=∫_－1⁰f(x)dx+∫₀¹f(x)dx＜0，故选B。

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