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求函数z=x2y(4-x-y)在由直线x+y=6,x轴和y轴所围成的区域D上的最大值与最小值。
求函数z=x2y(4-x-y)在由直线x+y=6,x轴和y轴所围成的区域D上的最大值与最小值。
admin
2018-12-27
42
问题
求函数z=x
2
y(4-x-y)在由直线x+y=6,x轴和y轴所围成的区域D上的最大值与最小值。
选项
答案
区域D如图5—3所示,它是有界闭区域,z(x,y)在D上连续,所以在D上一定有最大值与最小值,其最值或在D内的驻点处取得,或在D的边界上取得。 [*] 为求D内驻点,先求 [*] 令[*]于是得方程组[*]解得z(x,y)在D内的唯一驻点(x,y)=(2,1)且z(2,1)=4。 在D的边界y=0,0≤z≤6或x=0,0≤y≤6上z(x,y)=0; 在边界x+y=6(0≤x≤6)上,将y=6-x代入z(x,y),有z(x,y)=x
2
(6-x)( -2)=2(x
3
-6x
2
)(0≤x≤6)。令h(x)=2(x
3
-6x
2
),则h’(x)=6(x
2
-4x),得h’(4)=0,h’(0)=0。 且h(4)=-64,h(0)=0,即z(x,y)在边界x+y=6(0≤x≤6)上的最大值为0,最小值为-64。 综上,[*]
解析
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考研数学一
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