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设f(x)在区间(一∞，+∞)上连续且严格单调增，又设 则φ(x)在区间(一∞，+∞)上 ( )
设f(x)在区间(一∞，+∞)上连续且严格单调增，又设 则φ(x)在区间(一∞，+∞)上 ( )
admin
2016-05-03
32
问题
设f(x)在区间(一∞，+∞)上连续且严格单调增，又设
则φ(x)在区间(一∞，+∞)上 ( )
选项
A、严格单调减少．
B、严格单调增加．
C、存在极大值点．
D、存在极小值点．
答案
B
解析
令上式分子为
(x)=(x一a)f(x)一I f(t)dt
=(x—a)f(x)一(x一a)f(ξ)
=(x一a)[f(x)一f(ξ)]，
其中，当a＜x时，a＜ξ＜x，从而f(ξ)＜f(x)；当a＞x时，a＞ξ＞x，从而f(ξ)＞f(x)．所以不论a＜x还是a＞x，总有
(x)＞0．因此当x≠a时，φ’(x)＞0．故可知在区间(一∞，a)与(a，+∞)上φ(x)均严格单调增加．
以下证明在区间(一∞，+∞)上φ(x)也是严格单调增加．事实上，设x∈(a，+∞)，则
φ(x
2
)一φ(a)=
一f(a)=f(ξ
2
)一f(a)＞0，
其中a＜ξ
2
＜x
2
＜+∞，此ξ
2
可取在开区间(a，x
2
)内．
同理，设x
1
∈(一∞，a)，则有
φ(a)一φ(x
1
)=f(a)一f(ξ
2
)＞0，
其中一∞＜x
1
＜ξ
1
＜a．合并以上两个不等式，有φ(x
2
)一φ(x
1
)＞0．
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考研数学三
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