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  3. 设f(x)在区间(一∞，+∞)上连续且严格单调增，又设 则φ(x)在区间(一∞，+∞)上 ( )

设f(x)在区间(一∞，+∞)上连续且严格单调增，又设 则φ(x)在区间(一∞，+∞)上 ( )

admin2016-05-03  115
问题 设f(x)在区间(一∞，+∞)上连续且严格单调增，又设
   
    则φ(x)在区间(一∞，+∞)上    (    )
选项 A、严格单调减少．
B、严格单调增加．
C、存在极大值点．
D、存在极小值点．
答案B
解析
  令上式分子为
    (x)=(x一a)f(x)一I f(t)dt
    =(x—a)f(x)一(x一a)f(ξ)
    =(x一a)[f(x)一f(ξ)]，
  其中，当a＜x时，a＜ξ＜x，从而f(ξ)＜f(x)；当a＞x时，a＞ξ＞x，从而f(ξ)＞f(x)．所以不论a＜x还是a＞x，总有(x)＞0．因此当x≠a时，φ’(x)＞0．故可知在区间(一∞，a)与(a，+∞)上φ(x)均严格单调增加．
  以下证明在区间(一∞，+∞)上φ(x)也是严格单调增加．事实上，设x∈(a，+∞)，则
    φ(x2)一φ(a)=一f(a)=f(ξ2)一f(a)＞0，
  其中a＜ξ2＜x2＜+∞，此ξ2可取在开区间(a，x2)内．
  同理，设x1∈(一∞，a)，则有
    φ(a)一φ(x1)=f(a)一f(ξ2)＞0，
  其中一∞＜x1＜ξ1＜a．合并以上两个不等式，有φ(x2)一φ(x1)＞0．
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考研数学三

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