设f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)，则方程f′(x)=0在(0，3)内的根的个数为(56)。

admin2009-02-15 13

问题设f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)，则方程f′(x)=0在(0，3)内的根的个数为(56)。

选项 A、1
B、2
C、3
D、4

答案C

解析由罗尔定理，设函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，B) 内可导，且f(A) =f (B) ，则在(a，B) 内至少存在一点ξ使得f′ξ=0，a＜ξ＜b。则f(x)=x(x-1)(x-2)(x-3)在(-∞+∞)内连续且可导，又f(0)=f(1)=f(2)=f(3)=0，所以由罗尔定理可知f′(x)=0在(0，3)内至少有3个根。又f(x)是4次多项式f′(x)是3次多项式，从而f′(x)=0是3次方程，只有3个根，故答案选C。

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