2. 考研
  3. 已知平面上三条不同直线的方程分别为 l1：ax+2by+3c=0， l2：bx+2cy+3a=0， l3：cx+2ay+3b=0， 试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a+b+c=0．

已知平面上三条不同直线的方程分别为 l1：ax+2by+3c=0， l2：bx+2cy+3a=0， l3：cx+2ay+3b=0， 试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a+b+c=0．

admin2016-05-31  102
问题 已知平面上三条不同直线的方程分别为
    l1：ax+2by+3c=0，
    l2：bx+2cy+3a=0，
    l3：cx+2ay+3b=0，
试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a+b+c=0．
选项
答案方法一：必要性： 设三条直线l1，l2，l3交于一点，则其线性方程组为： [*] =3(a+b+c)[(a-b)2+(b—c)2+(c—a)2]，但根据题设可知(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≠0，故a+b+c=0． 充分性： 由a+b+c=0，则从必要性的证明中可知，｜A｜=0，故r(A)＜3．由于 [*] 因此方程组(1)有唯一解，即三直线l1，l2，l3交于一点． 方法二：必要性： 设三直线交于一点(x0，y0)，则[*]为Ax=0的非零解，其中 [*] =-3(a+b+c)[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2]，但根据题设可知(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≠0，故 a+b+C=0． 充分性： 考虑线性方程组 [*] 将方程组(2)的三个方程相加，并由a+b+c=0可知，方程组(2)等价于方程组 [*] 故方程组(3)有唯一解，即方程组(2)有唯一解，亦即三直线l1，l2，l3交于一点．
解析
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考研数学三

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