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已知平面上三条不同直线的方程分别为 l1:ax+2by+3c=0, l2:bx+2cy+3a=0, l3:cx+2ay+3b=0, 试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a+b+c=0.
已知平面上三条不同直线的方程分别为 l1:ax+2by+3c=0, l2:bx+2cy+3a=0, l3:cx+2ay+3b=0, 试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a+b+c=0.
admin
2016-05-31
105
问题
已知平面上三条不同直线的方程分别为
l
1
:ax+2by+3c=0,
l
2
:bx+2cy+3a=0,
l
3
:cx+2ay+3b=0,
试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a+b+c=0.
选项
答案
方法一:必要性: 设三条直线l
1
,l
2
,l
3
交于一点,则其线性方程组为: [*] =3(a+b+c)[(a-b)
2
+(b—c)
2
+(c—a)
2
],但根据题设可知(a-b)
2
+(b-c)
2
+(c-a)
2
≠0,故a+b+c=0. 充分性: 由a+b+c=0,则从必要性的证明中可知,|A|=0,故r(A)<3.由于 [*] 因此方程组(1)有唯一解,即三直线l
1
,l
2
,l
3
交于一点. 方法二:必要性: 设三直线交于一点(x
0
,y
0
),则[*]为Ax=0的非零解,其中 [*] =-3(a+b+c)[(a-b)
2
+(b-c)
2
+(c-a)
2
],但根据题设可知(a-b)
2
+(b-c)2+(c-a)
2
≠0,故 a+b+C=0. 充分性: 考虑线性方程组 [*] 将方程组(2)的三个方程相加,并由a+b+c=0可知,方程组(2)等价于方程组 [*] 故方程组(3)有唯一解,即方程组(2)有唯一解,亦即三直线l
1
,l
2
,l
3
交于一点.
解析
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考研数学三
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