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给定x0，设x1=cosx0，x2=cos(cosx0)，…xn=，则{xn}收敛．
给定x0，设x1=cosx0，x2=cos(cosx0)，…xn=，则{xn}收敛．
admin
2022-10-31
75
问题
给定x
0
，设x
1
=cosx
0
，x
2
=cos(cosx
0
)，…x
n
=
，则{x
n
}收敛．
选项
答案
不妨设0≤x
1
≤1．则0≤x
n
≤1，n=2，…．由于cosx在[0．π／2]内递减．所以{x
n
}不是单调数列，故分别讨论单调奇子列{x
2n-1
}与单调偶子列{x
2n
}． 若x
1
≤x
3
，则 x
4
-x
2
=cosx
3
-cosx
1
=[*] 从而x
4
≤x
2
．又 x
5
-x
3
=cosx
4
-cosx
2
=[*] 故x
5
≤x
3
． 依次递推，知{x
2n-1
}单调递增，{x
2n
}单调递减． 若x
1
≥x
3
，则可证得{x
2n-1
}单凋递减，{x
2n
}单调递增． 故{x
2n
}与{x
2n-1
}都是单调有界数列，因而都有极限．设[*]x
2n
-α，[*]x
2n-1
=β [*] 由x-cos(cosx)零点的唯一性知α=β．所以，{x
2n
}与{x
2n-1
}收敛于同一极限，即x
n
收敛．
解析
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0
考研数学一
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