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给定x0,设x1=cosx0,x2=cos(cosx0),…xn=,则{xn}收敛.
给定x0,设x1=cosx0,x2=cos(cosx0),…xn=,则{xn}收敛.
admin
2022-10-31
75
问题
给定x
0
,设x
1
=cosx
0
,x
2
=cos(cosx
0
),…x
n
=
,则{x
n
}收敛.
选项
答案
不妨设0≤x
1
≤1.则0≤x
n
≤1,n=2,….由于cosx在[0.π/2]内递减.所以{x
n
}不是单调数列,故分别讨论单调奇子列{x
2n-1
}与单调偶子列{x
2n
}. 若x
1
≤x
3
,则 x
4
-x
2
=cosx
3
-cosx
1
=[*] 从而x
4
≤x
2
.又 x
5
-x
3
=cosx
4
-cosx
2
=[*] 故x
5
≤x
3
. 依次递推,知{x
2n-1
}单调递增,{x
2n
}单调递减. 若x
1
≥x
3
,则可证得{x
2n-1
}单凋递减,{x
2n
}单调递增. 故{x
2n
}与{x
2n-1
}都是单调有界数列,因而都有极限.设[*]x
2n
-α,[*]x
2n-1
=β [*] 由x-cos(cosx)零点的唯一性知α=β.所以,{x
2n
}与{x
2n-1
}收敛于同一极限,即x
n
收敛.
解析
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考研数学一
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