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设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=0,f(1)=1,试证明对任意给定的正数a及b,在(0,1)内必存在不相等的x1,x2,使=a+b.
设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=0,f(1)=1,试证明对任意给定的正数a及b,在(0,1)内必存在不相等的x1,x2,使=a+b.
admin
2019-03-06
43
问题
设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=0,f(1)=1,试证明对任意给定的正数a及b,在(0,1)内必存在不相等的x
1
,x
2
,使
=a+b.
选项
答案
因a,b>0,故0<[*]<1,又因f(x)在[0,1]上连续,且f(0)=0,f(1)=1,由介值定理,必存在ζ∈(0,1),使f(ζ)=[*]. 又分别在[0,ζ],[ζ,1]上用拉格朗日中值定理,得 f(ζ)一f(0)=(ζ一0)f
’
(x
1
), f(1)一f(ζ)=(1一ζ)f
’
(x
2
)(其中0<x
1
<ζ<x
2
<1) 即有 [*]=1-ζ. 考虑到1-[*],并将上两式相加,得 [*]=1, 即存在不相等的x
1
,x
2
使[*]=a+b.
解析
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本试题收录于:
高等数学一题库成考专升本分类
0
高等数学一
成考专升本
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