2. 专升本
  3. 设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=0，f(1)=1，试证明对任意给定的正数a及b，在(0，1)内必存在不相等的x1，x2，使=a+b．

设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=0，f(1)=1，试证明对任意给定的正数a及b，在(0，1)内必存在不相等的x1，x2，使=a+b．

admin2019-03-06  63
问题 设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=0，f(1)=1，试证明对任意给定的正数a及b，在(0，1)内必存在不相等的x1，x2，使=a+b．
选项
答案因a，b＞0，故0＜[*]＜1，又因f(x)在[0，1]上连续，且f(0)=0，f(1)=1，由介值定理，必存在ζ∈(0，1)，使f(ζ)=[*]． 又分别在[0，ζ]，[ζ，1]上用拉格朗日中值定理，得 f(ζ)一f(0)=(ζ一0)f’(x1)， f(1)一f(ζ)=(1一ζ)f’(x2)(其中0＜x1＜ζ＜x2＜1) 即有 [*]=1－ζ． 考虑到1－[*]，并将上两式相加，得 [*]=1， 即存在不相等的x1，x2使[*]=a+b．
解析
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