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  3. 设随机变量X服从(0，2)上的均匀分布，Y服从参数λ＝2的指数分布，且X，Y相互独立，记随机变量Z＝X＋2Y． (1) 求Z的概率密度； (2)求E(Z)，D(Z)．

设随机变量X服从(0，2)上的均匀分布，Y服从参数λ＝2的指数分布，且X，Y相互独立，记随机变量Z＝X＋2Y． (1) 求Z的概率密度； (2)求E(Z)，D(Z)．

admin2016-01-25  25
问题 设随机变量X服从(0，2)上的均匀分布，Y服从参数λ＝2的指数分布，且X，Y相互独立，记随机变量Z＝X＋2Y．
(1) 求Z的概率密度；  
(2)求E(Z)，D(Z)．
选项
答案由题设X，Y相互独立，且 [*] 先求Z的分布函数(参考下图)． [*] 为此将f(x，y)取正值的区域的两个边界点(0，0)，(2，0)分别代入z＝x＋2y得到z＝0，z＝2．因而对z需分z≤0，0＜z＜2，z≥2，三种情况讨论： 当z≤0时，Fz(z)＝0； 当0＜z＜2时， FZ(z)＝P(X＋2Y≤z)＝[*]f(x，y)dxdy [*] 当z≥2时， FZ(z)＝P(X＋2Y≤z)＝[*]e－2ydy [*] 所以 [*] 于是 [*] (2)直接用期望、方差的运算性质计算．由于 E(X)＝1， D(X)＝[*] 且X，Y相互独立，故 E(Z)＝E(X＋2Y)＝E(X)＋2E(Y)＝1＋1＝2， D(Z)＝D(X＋2Y)＝D(X)＋4D(Y)＝[*]
解析 (1)先求Z的分布函数，根据Z的取值范围分段求出，再求概率密度．
(2)利用X，Y的期望和方差的运算法则求之，不宜用Z的密度函数用定义法求E(Z)和D(Z)．
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考研数学三

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