设随机变量X服从(0,2)上的均匀分布,Y服从参数λ=2的指数分布,且X,Y相互独立,记随机变量Z=X+2Y. (1) 求Z的概率密度; (2)求E(Z),D(Z).

admin2016-01-25  21

问题 设随机变量X服从(0,2)上的均匀分布,Y服从参数λ=2的指数分布,且X,Y相互独立,记随机变量Z=X+2Y.
(1) 求Z的概率密度;  
(2)求E(Z),D(Z).

选项

答案由题设X,Y相互独立,且 [*] 先求Z的分布函数(参考下图). [*] 为此将f(x,y)取正值的区域的两个边界点(0,0),(2,0)分别代入z=x+2y得到z=0,z=2.因而对z需分z≤0,0<z<2,z≥2,三种情况讨论: 当z≤0时,Fz(z)=0; 当0<z<2时, FZ(z)=P(X+2Y≤z)=[*]f(x,y)dxdy [*] 当z≥2时, FZ(z)=P(X+2Y≤z)=[*]e-2ydy [*] 所以 [*] 于是 [*] (2)直接用期望、方差的运算性质计算.由于 E(X)=1, D(X)=[*] 且X,Y相互独立,故 E(Z)=E(X+2Y)=E(X)+2E(Y)=1+1=2, D(Z)=D(X+2Y)=D(X)+4D(Y)=[*]

解析 (1)先求Z的分布函数,根据Z的取值范围分段求出,再求概率密度.
(2)利用X,Y的期望和方差的运算法则求之,不宜用Z的密度函数用定义法求E(Z)和D(Z).
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