2. 考研
  3. 设f(x)为[一a，a]上的连续的偶函数且f(x)＞0，令F(x)=｜ x—f｜ f(t)dt． (Ⅰ)证明：F’(x)单调增加． (Ⅱ)当x取何值时，F(x)取最小值? (Ⅲ)当F(x6)的最小值为f(a)一a2一1时，求函数f(x)．

设f(x)为[一a，a]上的连续的偶函数且f(x)＞0，令F(x)=｜ x—f｜ f(t)dt． (Ⅰ)证明：F’(x)单调增加． (Ⅱ)当x取何值时，F(x)取最小值? (Ⅲ)当F(x6)的最小值为f(a)一a2一1时，求函数f(x)．

admin2016-03-26  155
问题 设f(x)为[一a，a]上的连续的偶函数且f(x)＞0，令F(x)=｜ x—f｜ f(t)dt．
  (Ⅰ)证明：F’(x)单调增加．
  (Ⅱ)当x取何值时，F(x)取最小值?
(Ⅲ)当F(x6)的最小值为f(a)一a2一1时，求函数f(x)．
选项
答案(Ⅰ)F(x)=[*]｜x－t｜f(t)dt=[*](x－t)f(t)dt+[*](t－x)f(t)dt =[*] F’(x)=[*]f(t)dt+xf(x)一xf(x)一xf(x)+[*]f(t)dt+xf(x) =[*]f(t)dt－[*]f(t)dt 因为[*](x)=一2f(x)＞0，所以F’(x)为单调增加的函数． (Ⅱ)因为F’(0)=[*]f(x)dx一[*]f(x)dx且f(x)为偶函数，所以F’(0)=0，又因为[*](0)＞0，所以x=0为F(x)的唯一极小点，也为最小点． 故最小值为F(0)=[*] (Ⅲ)由2[*](t)dt=f(a)－a2—1两边求导得 于是f’(x)一2xf(x)=2x， 解得f(x)=[*541]， 在[*]tf(t)dt=f(a)一a2一1中令a=0得f(0)=1，则C=2，于是f(x)=[*]一1．
解析
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考研数学三

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