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设f(x)为[一a,a]上的连续的偶函数且f(x)>0,令F(x)=| x—f| f(t)dt. (Ⅰ)证明:F’(x)单调增加. (Ⅱ)当x取何值时,F(x)取最小值? (Ⅲ)当F(x6)的最小值为f(a)一a2一1时,求函数f(x).
设f(x)为[一a,a]上的连续的偶函数且f(x)>0,令F(x)=| x—f| f(t)dt. (Ⅰ)证明:F’(x)单调增加. (Ⅱ)当x取何值时,F(x)取最小值? (Ⅲ)当F(x6)的最小值为f(a)一a2一1时,求函数f(x).
admin
2016-03-26
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问题
设f(x)为[一a,a]上的连续的偶函数且f(x)>0,令F(x)=
| x—f| f(t)dt.
(Ⅰ)证明:F’(x)单调增加.
(Ⅱ)当x取何值时,F(x)取最小值?
(Ⅲ)当F(x6)的最小值为f(a)一a
2
一1时,求函数f(x).
选项
答案
(Ⅰ)F(x)=[*]|x-t|f(t)dt=[*](x-t)f(t)dt+[*](t-x)f(t)dt =[*] F’(x)=[*]f(t)dt+xf(x)一xf(x)一xf(x)+[*]f(t)dt+xf(x) =[*]f(t)dt-[*]f(t)dt 因为[*](x)=一2f(x)>0,所以F’(x)为单调增加的函数. (Ⅱ)因为F’(0)=[*]f(x)dx一[*]f(x)dx且f(x)为偶函数,所以F’(0)=0,又因为[*](0)>0,所以x=0为F(x)的唯一极小点,也为最小点. 故最小值为F(0)=[*] (Ⅲ)由2[*](t)dt=f(a)-a
2
—1两边求导得 于是f’(x)一2xf(x)=2x, 解得f(x)=[*541], 在[*]tf(t)dt=f(a)一a
2
一1中令a=0得f(0)=1,则C=2,于是f(x)=[*]一1.
解析
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