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设函数f(x)在区间[0,4]上连续,且,求证:存在ξ∈(0,4)使得f(ξ)十f(4一ξ)=0.
设函数f(x)在区间[0,4]上连续,且,求证:存在ξ∈(0,4)使得f(ξ)十f(4一ξ)=0.
admin
2014-02-06
45
问题
设函数f(x)在区间[0,4]上连续,且
,求证:存在ξ∈(0,4)使得f(ξ)十f(4一ξ)=0.
选项
答案
【证法一】用反证法来证明本题.由题设f(x)在[0,4]上连续即知f(4一x)在[0,4]上连续,从而其和f(x)+f(4一x)也在[0,4]上连续.若不存在ξ∈(0,4)使f(ξ)+f(4一ξ)=0,则f(x)+f(4一x)或在(0,4)内恒正,或在(0,4)内恒负,于是必有[*]但是[*]用换元x=4一t可得[*].于是[*].由此得出的矛盾表明必存在ξ∈(0,4)使得f(ξ)+f(4一ξ)=0. 【证法二】作换元t=4一x,则x:0—4对应t=4一0,且dx=一dt,从而[*]由此即得[*]利用f(x)+f(4一x)在[0,4]连续,由连续函数的积分中值定理即知存在ξ∈(0,4)使得[*]
解析
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考研数学三
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