2. 考研
  3. 设函数f(x)在区间[0，4]上连续，且，求证：存在ξ∈(0，4)使得f(ξ)十f(4一ξ)=0．

设函数f(x)在区间[0，4]上连续，且，求证：存在ξ∈(0，4)使得f(ξ)十f(4一ξ)=0．

admin2014-02-06  45
问题 设函数f(x)在区间[0，4]上连续，且，求证：存在ξ∈(0，4)使得f(ξ)十f(4一ξ)=0．
选项
答案【证法一】用反证法来证明本题．由题设f(x)在[0，4]上连续即知f(4一x)在[0，4]上连续，从而其和f(x)+f(4一x)也在[0，4]上连续．若不存在ξ∈(0，4)使f(ξ)+f(4一ξ)=0，则f(x)+f(4一x)或在(0，4)内恒正，或在(0，4)内恒负，于是必有[*]但是[*]用换元x=4一t可得[*]．于是[*]．由此得出的矛盾表明必存在ξ∈(0，4)使得f(ξ)+f(4一ξ)=0． 【证法二】作换元t=4一x，则x：0—4对应t=4一0，且dx=一dt，从而[*]由此即得[*]利用f(x)+f(4一x)在[0，4]连续，由连续函数的积分中值定理即知存在ξ∈(0，4)使得[*]
解析
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考研数学三

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