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设曲线y=y(x)位于第一卦限且在原点处的切线与x轴相切,P(x,y)为曲线上任一点,该点与原点之间的弧长为l1,点P处的切线与y轴交于点A,点A,P之间的距离为l2,又满足x(3l1+2)=2(x+1)l2,求曲线y=f(x).
设曲线y=y(x)位于第一卦限且在原点处的切线与x轴相切,P(x,y)为曲线上任一点,该点与原点之间的弧长为l1,点P处的切线与y轴交于点A,点A,P之间的距离为l2,又满足x(3l1+2)=2(x+1)l2,求曲线y=f(x).
admin
2016-05-17
65
问题
设曲线y=y(x)位于第一卦限且在原点处的切线与x轴相切,P(x,y)为曲线上任一点,该点与原点之间的弧长为l
1
,点P处的切线与y轴交于点A,点A,P之间的距离为l
2
,又满足x(3l
1
+2)=2(x+1)l
2
,求曲线y=f(x).
选项
答案
由已知条件得y(0)=0,yˊ(0)=0, l
1
=∫
0
x
[*]dx; P(x,y)处的切线为Y—y=yˊ(X—x), 令X=0,则Y=y—xyˊ,A的坐标为(0,y—xyˊ), l
2
=[*], 由x(3l
1
+2)=2(x+1)l
2
得3∫
0
x
[*]dx+2=2(x+1)[*], 两边对x求导整理得1+yˊ
2
=2(x+1)yˊyˊˊ. 令yˊ=p,yˊˊ=[*],代入得1+p
2
=2(x+1)p[*], 变量分离得[*], 积分得ln(1+p
2
)=ln(x+1)+lnC
1
,即1+P
2
=C
1
(x+1), 由初始条件得C
1
=1,即p=±[*],从而y=±[*]+C
2
, 再由y(0)=0得C
2
=0,故所求的曲线为y
2
=[*]x
3
.
解析
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0
考研数学二
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