求使不等式对所有的自然数n都成立的最大的数α和最小的数β．

admin2015-07-22 37

问题求使不等式

对所有的自然数n都成立的最大的数α和最小的数β．

选项

答案已知不等式等价于 [*] 令g(x)=(1+x)ln²(1+x)一x²，x∈[0，1]，则g(0)=0，且 g’(x)=ln²(1+x)+2ln(1+x)一2x，g’(0)=0， [*] 故g’(x)在[0，1]上严格单调递减，所以g’(x)＜g’(0)=0．同理，g(x)在[0，1]上也严格单调递减，故g(x)＜g(0)=0，即(1+x)ln²(1+x)一x²＜0，从而f’(x)＜0(0＜x≤1)，因此f(x)在 (0，1]上也严格单调递减．令x=[*]，α≤f(x)≤β，有 [*] 故使不等式对所有的自然数n都成立的最大的数 [*]

解析

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