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求使不等式对所有的自然数n都成立的最大的数α和最小的数β.
求使不等式对所有的自然数n都成立的最大的数α和最小的数β.
admin
2015-07-22
56
问题
求使不等式
对所有的自然数n都成立的最大的数α和最小的数β.
选项
答案
已知不等式等价于 [*] 令g(x)=(1+x)ln
2
(1+x)一x
2
,x∈[0,1],则g(0)=0,且 g’(x)=ln
2
(1+x)+2ln(1+x)一2x,g’(0)=0, [*] 故g’(x)在[0,1]上严格单调递减,所以g’(x)<g’(0)=0.同理,g(x)在[0,1]上也严格单调递减,故g(x)<g(0)=0,即(1+x)ln
2
(1+x)一x
2
<0,从而f’(x)<0(0<x≤1),因此f(x)在 (0,1]上也严格单调递减.令x=[*],α≤f(x)≤β,有 [*] 故使不等式对所有的自然数n都成立的最大的数 [*]
解析
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考研数学三
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