设a1，a2线性无关，a1+b，a2+b线性相关，求向量b用a1，a2线性表示的表达式．

admin2016-05-31 80

问题设a₁，a₂线性无关，a₁+b，a₂+b线性相关，求向量b用a₁，a₂线性表示的表达式．

选项

答案因为a₁+b，a₂+b线性相关，故存在不全为零的常数k₁，k₂，使k₁(a₁+b)+k₂(a₂+b)=0，则有(k₁+k₂)b=-k₁a₁-k₂a₂．又因为a₁，a₂线性无关，若 k₁a₁+k₂a₂=0，则k₁=k₂=0．这与k₁，k₂不全为零矛盾，于是有 k₁a₁+k₂a₂≠0，(k₁+k₂)b≠0．由a₁，a₂线性无关，a₁+b，a₂+b线性相关，因此b≠0．综上k₁+k₂≠0，因此由(k₁+k₂)b=-ka₁-k₂a₂，即 [*]

解析

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考研数学三

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