2. 公务员
  3. 如图，在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1=2，AB=1，点N是BC的中点，点M在CC1上，设二面角A1－DN—M的大小为θ． 当θ=90°时，求AM的长；

如图，在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1=2，AB=1，点N是BC的中点，点M在CC1上，设二面角A1－DN—M的大小为θ． 当θ=90°时，求AM的长；

admin2019-06-01  3
问题 如图，在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1=2，AB=1，点N是BC的中点，点M在CC1上，设二面角A1－DN—M的大小为θ．

当θ=90°时，求AM的长；
选项
答案建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz．设CM=t(0≤t≤2)，则各点的坐标为A(1，0，0)，A1(1，0．2)，N([*]，1，0)，M(0，1，t)．所以[*]=(0，1，t)，[*]=(1，0，2)．设平面DMN的法向量为n1=(x1，y1，z1)，则n1·[*]=0．即x1+2y1=0，y1+tz1=0．令z1=1，则y1=－t，x1=2t．所以n1=(2t，－t，1)是平面DMN的－个法向量．设平面A1DN的法向量为n2=(x2，y2，z2)，则n2·[*]=0，n2·[*]=0．即x2+2z2=0，x2+2y2=0．令z2=1，则x2=－2，y2=1．所以n2=(－2，1，1)是平面A1DN的－个法向量．从而n1·n2=－5t+1． 因为θ=90°，所以n1·n2=－5t+1=0，解得t=[*]. 从而M(0，1，[*])．所以AM=[*]. [*]
解析
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