将周长为2p的矩形绕它的一边旋转而构成一个圆柱体，问矩形的边长各为多少时，才可使圆柱体的体积最大?

admin2021-08-18 31

问题将周长为2p的矩形绕它的一边旋转而构成一个圆柱体，问矩形的边长各为多少时，才可使圆柱体的体积最大?

选项

答案设该矩形的底和高分别为x，y，则该矩形绕其高旋转形成的旋转体的体积为V＝πx²y．则问题转化为求V＝πx²y在条件2x＋2y＝2p，即x＋y－p＝0下的条件极值．用拉格朗日乘数法解之．令L(x，y，λ)＝πx²y＋λ(x＋y－p)．求L(x，y，λ)的驻点，即[*] 因此该矩形的长、短边分别为[*]时，该矩形绕短边旋转可使旋转体有最大体积．

解析

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