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假设函数f(x)和g(x)在[a,b]上存在二阶导数,并且g’’(x)≠0,f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0,试证: 在开区间(a,b)内g(x)≠0;
假设函数f(x)和g(x)在[a,b]上存在二阶导数,并且g’’(x)≠0,f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0,试证: 在开区间(a,b)内g(x)≠0;
admin
2018-01-30
105
问题
假设函数f(x)和g(x)在[a,b]上存在二阶导数,并且g
’’
(x)≠0,f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0,试证:
在开区间(a,b)内g(x)≠0;
选项
答案
利用反证法。假设存在c∈(a,b),使得g(c)=0,则根据题意,对g(x)在[a,c]和[c,b]上分别应用罗尔定理,可知存在ξ
1
∈(a,c)和ξ
2
∈(c,b),使得g
’
(ξ
1
)=g
’
(ξ
2
)=0成立。 接着再对g
’
(x)在区间[ξ
1
,ξ
2
]上应用罗尔定理,可知存在ξ
3
∈(ξ
1
,ξ
2
),使得g
’’
(ξ
3
)=0成立,这与题设条件g
’’
(x)≠0矛盾,因此在开区间(a,b)内g(x)≠0。
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/bTk4777K
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考研数学二
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