假设函数f(x)和g(x)在[a,b]上存在二阶导数,并且g’’(x)≠0,f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0,试证: 在开区间(a,b)内g(x)≠0;

admin2018-01-30  72

问题 假设函数f(x)和g(x)在[a,b]上存在二阶导数,并且g’’(x)≠0,f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0,试证:
在开区间(a,b)内g(x)≠0;

选项

答案利用反证法。假设存在c∈(a,b),使得g(c)=0,则根据题意,对g(x)在[a,c]和[c,b]上分别应用罗尔定理,可知存在ξ1∈(a,c)和ξ2∈(c,b),使得g1)=g2)=0成立。 接着再对g(x)在区间[ξ1,ξ2]上应用罗尔定理,可知存在ξ3∈(ξ1,ξ2),使得g’’3)=0成立,这与题设条件g’’(x)≠0矛盾,因此在开区间(a,b)内g(x)≠0。

解析
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