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证明;若f在[a,b]上连续,φ在[α,β]上可积,a≤φ(t)≤b,t∈[α,β],则f°φ在[α,β]上可积.
证明;若f在[a,b]上连续,φ在[α,β]上可积,a≤φ(t)≤b,t∈[α,β],则f°φ在[α,β]上可积.
admin
2022-11-23
17
问题
证明;若f在[a,b]上连续,φ在[α,β]上可积,a≤φ(t)≤b,t∈[α,β],则f°φ在[α,β]上可积.
选项
答案
任给ε>0,η>0.由于f在[a,b]上一致连续,因此对上述η,存在δ>0,当x’,x”∈[a,b]且|x’-x”|<δ时,|f(x’)-f(x”)|<η. 由假设φ在[α,β]上可积,对上述正数δ和ε,存在某一分割T,使得在T所属的小区间中,ω
k’
φ
≥δ的所有小区间△
k’
的总长[*]△t
k’
<ε;而在其余小区间△
k”
上ω
k”
φ
<δ. 设F(t)=f(φ(t)),t∈[α,β].由以上可知:在T中的小区间△
k”
上,ω
k”
F
<η;至多在所有△
k’
上ω
k”
≥
φ
≥η,而这些小区间的总长至多为[*]△t
k’
<ε.由可积的第三充要条件知,复合函数f°φ在[α,β]上可积.
解析
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考研数学一
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