2. 考研
  3. 证明；若f在[a，b]上连续，φ在[α，β]上可积，a≤φ(t)≤b，t∈[α，β]，则f°φ在[α，β]上可积．

证明；若f在[a，b]上连续，φ在[α，β]上可积，a≤φ(t)≤b，t∈[α，β]，则f°φ在[α，β]上可积．

admin2022-11-23  6
问题 证明；若f在[a，b]上连续，φ在[α，β]上可积，a≤φ(t)≤b，t∈[α，β]，则f°φ在[α，β]上可积．
选项
答案任给ε＞0，η＞0．由于f在[a，b]上一致连续，因此对上述η，存在δ＞0，当x’，x”∈[a，b]且｜x’-x”｜＜δ时，｜f(x’)-f(x”)｜＜η． 由假设φ在[α，β]上可积，对上述正数δ和ε，存在某一分割T，使得在T所属的小区间中，ωk’φ≥δ的所有小区间△k’的总长[*]△tk’＜ε；而在其余小区间△k”上ωk”φ＜δ． 设F(t)=f(φ(t))，t∈[α，β]．由以上可知：在T中的小区间△k”上，ωk”F＜η；至多在所有△k’上ωk”≥φ≥η，而这些小区间的总长至多为[*]△tk’＜ε．由可积的第三充要条件知，复合函数f°φ在[α，β]上可积．
解析
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考研数学一

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