2. 公务员
  3. 已知函数f(x)=，g(x)=alnx，a∈R． 设函数h(x)=f(x)－g(x)，当h(x)存在最小值时，求其最小值φ(a)的解析式；

已知函数f(x)=，g(x)=alnx，a∈R． 设函数h(x)=f(x)－g(x)，当h(x)存在最小值时，求其最小值φ(a)的解析式；

admin2019-08-05  5
问题 已知函数f(x)=，g(x)=alnx，a∈R．
设函数h(x)=f(x)－g(x)，当h(x)存在最小值时，求其最小值φ(a)的解析式；
选项
答案由条件知h(x)=[*]． (i)当a＞0时，令h’(x)=0，解得x=4a2．∴当0＜x＜4a2时，h’(x)＜0，h(x)在(0，4a2)上递减；当x＞4a2时，h’(x)＞0，h(x)在(4a2，+∞)上递增．∴x=4a2是h(x)在(0，+∞)上的唯一极值点，且是极小值点，从而也是h(x)的最小值点．∴最小值φ(a)=h(4a2)=2a－aln4a2=2a(1一ln2a)． (ii)当a≤0时，h’(x)=[*]＞0，h(x)在(0，+∞)上递增，无最小值． 综上故h(x)的最小值φ(a)的解析式为φ(a)=2(1一ln2a)(a＞0)．
解析
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